Beispiel: Korrelation und partielle Autokorrelation
Verwenden Sie die Funktionen
lcorr und
plcorr, um die verzögerte Abtastkorrelation bzw. die partielle Autokorrelation zu berechnen.
Für Definitionen und Beispiele, siehe "Time Series Analysis" von Bowerman und O'Connell (Duxbury) und "Forecasting Economic Time Series" von Granger und Newbold (Academic Press).
lcorr
Die Funktion lcorr geht davon aus, dass die beiden Eingaben dieselbe Länge aufweisen.
Angenommen, Sie haben ein Eingabesignal in Form eines gefensterten Sinuswellenimpulses. Dieser Puls kann beispielsweise als ein sonares Testsignal verwendet werden. Das Rücklaufsignal legt einen bestimmten Abstand zurück, prallt von dem untersuchten Objekt ab und kehrt zur Quelle zurück, und zwar verzögert (durch die Laufzeit), abgeschwächt und verrauscht. Durch Korrelieren des empfangenen Signals mit dem Testsignal ist es möglich, die Verzögerung zu bestimmen und damit den Abstand zu dem getesteten Objekt.
1. Definieren Sie die Anzahl an Stichprobenpunkten.
2. Definieren Sie die Pulslänge.
3. Verwenden Sie die Funktion
sin, um das Signal zu definieren.
4. Verwenden Sie die Funktion
hanning, um die Funktion zum Definieren von Fenstern festzulegen.
◦ Die Breite des Fensters beträgt 200.
◦ Die Länge von Vektor x entspricht der Länge von 1000 Elementen.
5. Plotten Sie das Eingabesignal x, und verwenden Sie eine vertikale Markierung, um die Pulslängenlinie anzuzeigen.
6. Verwenden Sie die Funktion
rnd, um das Zufallsrauschen zu definieren, und definieren Sie anschließend die Verzögerung und die Dämpfung des Rücklaufsignals.
7. Definieren und plotten Sie das Rücklaufsignal zusammen mit dem Eingabesignal.
Wenn die Verzögerungszeit nicht bekannt ist, beispielsweise wenn Signale gemessen und nicht simuliert werden, ist es unter Umständen schwierig zu sagen, wo sich der Rücklaufpuls in dem verrauschten Plot oben befunden hat.
Sie können davon ausgehen, dass die lineare Korrelation von x und y an oder um die Verzögerungszeit im Vergleich zu anderen korrelierten Proben maximal ist, da die Korrelation ein Signal über ein anderes schiebt und dabei multipliziert und summiert, um die einzelnen Proben zu erreichen. Wenn die Verzögerungszeit erreicht ist, weist die Überlappung ihr Maximum auf.
8. Verwenden Sie die Funktionen lcorr,
max und
match, um zu überprüfen, ob die lineare Korrelation von x und y an oder um die Verzögerungszeit maximal ist.
Autokorrelation bei Verwendung von Icorr
Verwenden Sie die Autokorrelation, um die Ordnung eines Moving-Average-Prozesses abzuschätzen.
1. Verwenden Sie die Funktionen rnd und
movavg, um eine Zufallssequenz mit einer Fensterbreite von N zu glätten.
2. Plotten Sie den gleitenden Mittelwert.
3. Verwenden Sie die Funktion lcorr, um die Autokorrelation von Y zu berechnen und zu plotten.
Die ersten N Werte der Autokorrelation bilden eine mehr oder weniger gerade abfallende Linie, die sich bei N 0 nähert. Wenn der Wert von N nicht bekannt wäre, könnten wir aufgrund dieses Verhaltens eine gute Schätzung vornehmen.
4. Verwenden Sie als Referenz die Funktion
slope, um die Steigung dieses Anfangssegmentes zu berechnen und es mit -1/N zu vergleichen.
Bei der Autokorrelation handelt es sich um eine Fourier-Transformation des Signalspektrums. Sie kann deshalb effizient mit der Funktion
dft berechnet werden.
plcorr
Die Funktion plcorr dient dazu, die Reihenfolge des Modells zu schätzen, das am besten zu einer autoregressiven Zeitreihe passt, und die Berechnung der Modellparameter zu unterstützen.
Die partielle Autokorrelationssequenz, die auch als Reflexionskoeffizientsequenz bezeichnet wird, stellt die Korrelation zwischen Werten der Zeitreihe zu den Zeiten t und t-k dar, nachdem diese Werte durch Subtraktion der vorwärts und rückwärts gerichteten Prognosen angepasst wurden. Die Prognosen basieren auf den Werten der Folgen an den Zwischenzeiten.
Für weitere technische Details, siehe "Spectral Analysis for Physical Applications" von D. B. Percival und A. T. Walden, S. 409, Cambridge University Press, 1993. Hier wird die Verwendung der Levinson-Durban-Rekursion für autoregressive Modelle erläutert.
Um die Verwendung der teilweisen Autokorrelationsfunktion plcorr zu illustrieren, verwenden Sie die folgenden Schritte, um einen autoregressiven Prozess zu konstruieren.
1. Definieren Sie die Koeffizienten für den Prozess.
2. Verwenden Sie die Funktion rnd, um die Zeitreihe zu initialisieren.
3. Generieren Sie die restlichen Reihen mithilfe des Autoregressionssignals sowie des weißen Rauschens.
4. Berechnen und plotten Sie die ersten 200 Schritte des Prozesses.
5. Verwenden Sie die Funktionen lcorr und plcorr, um die Autokorrelation und teilweise Autokorrelation zu berechnen.
6. Plotten Sie die ersten 30 Elemente jedes Korrelationsvektors, und verwenden Sie eine vertikale Markierung, um die Anzahl der Koeffizienten zu markieren.
Für den autoregressiven Prozess b oszilliert die Autokorrelation, während die partielle Autokorrelation letztendlich nach 6 abgeschnitten wird. Auf diese Weise stellt die partielle Autokorrelation einige Informationen zur Reihenfolge des Prozesses bereit, die anschließend beispielsweise mit der burg-Funktion verwendet werden können.
Ökonomische Zeitreihen werden häufig unter Verwendung niederwertiger Modelle angepasst und analysiert, für die nur einige der plcorr-Koeffizienten ungleich null sind. Daten, deren plcorr-Koeffizienten nicht schnell abfallen, spiegeln möglicherweise nichtlineare Phänomene wider. Eine in diesem Fall häufig verwendete Vorgehensweise besteht darin, die Daten zu differenzieren und die differenzierten Daten auf Korrelationen zu analysieren.
