Verwenden Sie die Funktionen
bessel, butter, cheby1, cheby2,
iirlow, iirhigh, iirpass und
iirstop, um Koeffizienten für einen analogen Tiefpassfilter des angegebenen Typs zu generieren. Verwenden Sie die Koeffizienten als Argumente zu einer der iir-Funktionen, welche die bilineare Transformation skalieren und ausführen, um den erforderlichen Frequenzgang zu erzeugen.
• Für Tiefpass- und Hochpassfilter mit gerader Ordnung N weisen alle Abschnitte den Grad zweiter Ordnung auf, und zwar mit drei Koeffizienten in jeder Spalte. Wenn die Ordnung ungerade ist, weist der letzte Abschnitt den Grad erster Ordnung auf. Bei Banddurchlass- und Kerbfiltern wird die Ordnung jedes Abschnitts durch die Konvertierung zu einem digitalen Filter verdoppelt.
• Die Funktionen
gain und
response akzeptieren Koeffizienten-Arrays in der Form, wie sie von diesen Funktionen erstellt werden. Komplexe Zuwächse werden durch das Multiplizieren von Abschnittszuwächsen erzielt und Antworten durch das Hinzufügen der Antwort eines Abschnitts zum nächsten Abschnitt.
• Diese Funktionen implementieren die Algorithmen aus Kapitel 7 von "Signal Processing Algorithms" von Samuel Stearns und Ruth David (Prentice-Hall, Inc.).
Tschebyscheff-Tiefpassfilter vom Typ I
1. Legen Sie die Reihenfolge, den Welligkeitsparameter und die Grenzfrequenz fest.
2. Verwenden Sie die Funktionen iirlow und cheby1, um die Filterkoeffizienten zu generieren.
Der Filter A verfügt über vier quadratische Abschnitte.
3. Plotten Sie den Betrag des Zuwachses, und verwenden Sie eine horizontale Markierung, um die Welligkeitsstufe zu markieren.
Da die Übertragungsfunktion als Produkt von quadratischen Faktoren angegeben wird, ist die grafische Darstellung der Polstellen in der komplexen Ebene äußerst unkompliziert.
4. Ermitteln Sie die komplexen Wurzeln von jedem Faktor des Nenners.
Die Polstellen der Übertragungsfunktion des Filters A sind die Wurzeln der quadratischen Gleichungen mit Koeffizienten, die durch die ungeraden Spalten von A angegeben sind, wobei der Koeffizient des quadratischen Terms zuerst angegeben ist.
5. Ermitteln Sie eine Wurzel für jeden Faktor des Nenners.
6. Geben Sie die verbundenen Wurzeln an.
7. Zeigen Sie die Polstellen der Übertragungsfunktion an, und stellen Sie sie grafisch in der komplexen Ebene dar. Fügen Sie eine Einheitskreisspur als Referenz hinzu.
Das Diagramm zeigt, dass sich alle acht Polstellen innerhalb des Einheitskreises befinden, sodass der Filter wie erforderlich stabil ist.
8. Verwenden Sie die Funktion
max, um numerisch zu überprüfen, ob alle acht Polstellen innerhalb des Einheitskreises liegen.
9. Wenden Sie die Funktion
response an, und stellen Sie anschließend die Impulsantwort von Filter A grafisch dar. Verwenden Sie einen Vektor der Länge 1, der einen Einheitsimpuls als erstes Argument darstellt.
Die Antwort weist zwar eine unendliche Länge auf, fällt jedoch nach den ersten 80 Termen fast auf 0 ab. Die Stabilitätsbedingung garantiert, dass die Summe der absoluten Werte der Antwort begrenzt ist.
Tschebyscheff-Tiefpassfilter vom Typ II
1. Legen Sie die Parameter für einen Tschebyscheff-Filter vom Typ II fest.
2. Verwenden Sie die Funktion
tan, um den Maßstab zu berechnen.
Siehe Stearns und David für weitere Informationen zur Theorie hinter dieser Berechnung. Diese Zahl ist immer größer als 1.
3. Verwenden Sie die Funktionen iirlow und cheby2, um die Koeffizienten für einen IIR-Tiefpassfilter 5. Ordnung mit der Grenzfrequenz f=pass zu berechnen.
Die Koeffizientenmatrix verfügt über zwei quadratische und einen linearen Abschnitt.
4. Verwenden Sie die Funktion gain, um den Zuwachs bei jeder Frequenz zu berechnen. Plotten Sie den Frequenzgang anschließend. Verwenden Sie Markierungen, um die Frequenzen pass und stop und die Umkehrung der Dämpfungsebene anzuzeigen.
Der Antwort-Plot zeigt, wie gut die Konstruktionskriterien erfüllt werden. Die Markierungen helfen darzustellen, dass der Sperrbereich an der erforderlichen Position (der Kreuzung der Linien stop und 1/atten) beginnt und dass der Durchlassbereich rechts von der Grenzfrequenz endet.
5. Verwenden Sie die Funktionen iirlow und cheby2, um die oben genannte Konstruktion bei Verwendung einer größeren Dämpfung zu wiederholen.
Für höhere Dämpfungen sind Filter höherer Ordnung erforderlich, damit der Übergangsbereich die erforderliche Breite aufweist. Verwenden Sie einen Filter der 5. Ordnung und einen Filter der 8. Ordnung, und vergleichen Sie die Ergebnisse.
6. Plotten Sie den Zuwachs eines Filters fünfter Ordnung in dB. Verwenden Sie Markierungen, um die Durchlassfrequenz und die gewünschte Dämpfung von 30 dB zu markieren.
7. Plotten Sie den Zuwachs eines Filters achter Ordnung in DB. Verwenden Sie Markierungen, um die Durchlassfrequenz und die gewünschte Dämpfung von 30 dB zu markieren.
Während der Zuwachs unterhalb der -30db-Linie um die Stoppfrequenz bei beiden Filtern ähnlich ist, bleibt der Zuwachs des Filters achter Ordnung nach der Grenzfrequenz flach. Dies bedeutet, dass ein Filter der 8. Ordnung erforderlich ist, um die gewünschte Dämpfung von 1000 zu erzielen.
Berechnen des Skalierungsfaktors
Die Gleichungen unten zeigen die Definition des Skalierungsfaktors für den Hochpass-, den Banddurchlass- und den Kerbfilter.
• Hochpassfilter:
• Bandpassfilter:
Die Parameter pass1 und pass2 entsprechen der unteren und oberen Kante des Durchlassbereichs und die Parameter stop1 und stop2 den Kanten der beiden Sperrbereiche.
• Kerbfilter:
Die Parameter pass1 und pass2 entsprechen den Kanten der beiden Durchlassbereiche und die Parameter stop1 und stop2 der unteren und oberen Kante des Sperrbereiches.
1. Legen Sie die Parameter für ein Banddurchlassfilter fest:
2. Berechnen Sie den Maßstab eines Banddurchlassfilters mit den oben genannten Parametern.
3. Berechnen Sie die Koeffizienten für den oben genannten Bandpassfilter.
4. Stellen Sie die Antwort in dB grafisch dar, und zeigen Sie die Markierungen für das Sperr- und Durchlassband an.
Die rechte Kante des Sperrbereichs fällt genau an der richtigen Position ab, aber die linke Kante des Sperrbereichs wird auf einen Wert gerade oberhalb des Zielfrequenzwerts erhöht. Dies bedeutet, dass der Übergangsbereich enger als erforderlich ist.
Bessel-Tiefpassfilter
Ein Bessel-Filter wird als einzelner Abschnitt zurückgegeben.
1. Legen Sie die Parameter des Bessel-Filters fest.
Mit dem Skalierungsparameter kann der Zuwachs an der Grenzfrequenz gesteuert werden.
2. Verwenden Sie die Funktion bessel, um die Koeffizienten des Bessel-Filters zu berechnen.
3. Stellen Sie den Zuwachs grafisch dar, und zeigen Sie den Zuwachs an der Grenzfrequenz an.
4. Tauschen Sie den geringeren Zuwachs an der Grenzfrequenz mithilfe des Skalierungsfaktors gegen eine erhöhte Dämpfung im Sperrbandbereich ein.
R ist die analoge Übertragungsfunktion, die den analogen Koeffizienten B1 entspricht.
5. Verwenden Sie die Funktion
root mit einem anfänglichen Schätzwert von 1, um den Punkt zu ermitteln, an dem die analoge Übertragungsfunktion R an der Grenzfrequenz den Wert 0.8 aufweist.
Die Maßstabsmarkierung kreuzt die Zuwachskurve bei 0.8.
Der Schätzwert muss eine solche positive Zahl sein, dass er auf einen positiven Maßstabswert hinausläuft.
6. Berechnen Sie die digitalen Filterkoeffizienten mit dem berechneten Skalierungsfaktor neu.
7. Stellen Sie den neuen Frequenzgang grafisch dar, und zeigen Sie den Zuwachs an der Grenzfrequenz an.
Das Diagramm zeigt, dass der neue Frequenzgang nach der Grenzfrequenz einen schärferen Übergang zu null aufweist. Die Verwendung des Skalierungsfaktors führt zu einer stärkeren Dämpfung im Sperrband.
Banddurchlass-, Kerb- und Butterworth-Hochpassfilter
Die Ordnung der Eingangskoeffizienten wird durch die Funktionen iirpass und iirstop verdoppelt, sodass analoge Koeffizienten der 4. Ordnung in einem Filter der 8. Ordnung resultieren.
Butterworth-Banddurchlassfilter
1. Legen Sie die Filterparameter fest.
2. Berechnen Sie die Koeffizienten.
3. Plotten Sie die Antwort. Verwenden Sie vertikale Markierungen, um die niedrigen und hohen Frequenzen zu zeigen.
Die Antwort zeigt, dass Frequenzen zwischen f_lo und f_hi durchgelassen werden. Alle übrigen Frequenzen werden herausgefiltert.
Butterworth-Kerbfilter
1. Legen Sie die Ordnung des Filters fest.
2. Verwenden Sie die Funktionen iirstop und butter, um die Koeffizienten zu berechnen.
3. Plotten Sie die Antwort. Verwenden Sie vertikale Markierungen, um die niedrigen und hohen Frequenzen zu zeigen.
Die Antwort zeigt, dass Frequenzen zwischen f_lo und f_hi gesperrt werden. Alle übrigen Frequenzen werden durchgelassen.
Butterworth-Hochpassfilter
1. Legen Sie die Ordnung des Filters fest.
2. Verwenden Sie die Funktionen iirhigh und butter, um die Koeffizienten zu berechnen.
Im Gegensatz zu den Funktionen iirpass und iirstop verdoppelt die Funktion iirhigh nicht den Ordnungsgrad der Eingabekoeffizienten. Deshalb wurde der Ordnungsgrad unverändert an die Funktion butter übergeben.
3. Plotten Sie die Antwort. Verwenden Sie eine vertikale Markierung, um die hohe Frequenz anzuzeigen.
Die Antwort zeigt, dass Frequenzen, die höher sind als f_hi, durchgelassen werden. Alle übrigen Frequenzen werden herausgefiltert.
