함수 > 데이터 분석 > 곡선 맞춤 > 예제: 선형 회귀
예제: 선형 회귀
polyfitc, line, slopeintercept 함수를 사용하여 x-y 데이터 집합을 통과하는 최적합 최소자승 선을 찾습니다. stderr 함수를 사용하여 적합식 매개변수의 오차를 계산합니다. 최적합 선을 중심으로 하는 신뢰 한계를 계산하고 신뢰 구간을 정합니다.
최적합 선
다양한 거리를 운전하는 데 걸리는 시간을 추정하는 선형 함수를 만듭니다.
1. 마일 단위의 거리 집합과 해당 거리를 운전하는 데 걸리는 분 단위의 시간을 정의합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
2. 일변수 선형 회귀 방정식을 정의합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
3. polyfitc를 호출하여 회귀 계수 ab를 구합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
x 값 각각에 대해 T의 값과 회귀 방정식 f를 통해 계산한 값 사이의 차이를 최소화하는 방식으로 계수가 구해집니다. 풀이 구간 및 minimize 함수를 사용하여 제곱의 합을 최소화해 보면 이 사실을 확인할 수 있습니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
4. 선의 각 점을 기준으로 거리를 측정했을 때 그 거리의 제곱에 대한 합을 최소화하는 최적합 선을 정의합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
원래 관측한 데이터에 근접한 값에 대해서만 선형 회귀 또는 기타 유형의 회귀를 통해 매개변수화된 방정식을 사용해야 합니다. 위 데이터에 대한 최적합 선을 살펴보면 0마일의 거리를 이동하는 데 다음 시간이 걸린다는 예측이 가능합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
그러나 측정 시간이 엄격한 의미에서 일정한 속도로 이동하는 데 걸리는 시간을 말한다면 이와 같은 예측은 이치에 맞지 않습니다. 이러한 유형의 결과는 때로 특정 물리 현상을 나타낼 수 있습니다. 이 경우 0마일을 운전하는 데 필요한 시간을 신호등 앞에서 기다리는 평균 시간으로 해석할 수 있습니다.
5. 데이터 점과 최적합 선을 도표화합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
기울기와 절편을 계산하는 다른 방법
최적합 선의 기울기와 절편을 계산하는 데는 여러 가지 방법이 있습니다. 예를 들어 line 함수를 사용하여 slope 함수와 intercept 함수를 결합할 수 있습니다. 또 다른 방법으로는 행렬 계산이나 통계 관계를 사용하는 방법이 있습니다.
1. interceptslope 함수를 호출합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
2. line 함수를 호출합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
3. augment 함수를 통해 행렬 계산을 사용합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
4. stdev, corr, meanslope 함수를 통해 통계 관계를 사용합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
5. 도표를 사용하여 최소자승 선이 항상 (mean(X), mean(T)) 점을 통과한다는 것을 보여줍니다.
이 식을 복사하려면 클릭
표준 오차
추정치의 표준 오차(단순히 표준 오차라고도 함)를 계산하여 위의 선형 적합이 얼마나 정확한지 측정합니다. 기울기와 절편의 오차도 계산합니다.
1. 자유도(데이터 점의 수에서 적합식 매개변수의 수를 뺀 값)를 정의합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
2. stderr 함수를 호출하여 앞서 정의한 최적합 선에 대한 추정치의 표준 오차를 계산합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이는 MSE(평균 제곱 오차)의 제곱근, 즉 σ2의 제곱근입니다.
이 식을 복사하려면 클릭
3. 계산된 표준 오차와 polyfitstat 함수로 구한 표준 오차를 비교합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
4. 기울기와 절편의 표준 오차를 계산합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
5. 행렬 계산을 사용하여 위 계산을 반복합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
6. augment 함수를 사용하여 각 회귀 계수의 표준 오차가 polyfitc 함수로 구한 행렬에 기록된다는 것을 보여줍니다.
이 식을 복사하려면 클릭
각 계수의 신뢰 구간
위의 추정치를 스튜던트의 t 분포에서 가져온 백분위수 점과 함께 사용하여 기울기와 절편의 추정치에 대한 신뢰 구간을 정합니다.
1. 98% 신뢰 구간에 대한 유의 수준을 정의하고 qt 함수를 사용하여 t 인수를 계산합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
2. 기울기의 신뢰 한계를 계산합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
실제 기울기 값이 SLSU 사이에 놓일 가능성이 98%입니다.
3. 절편의 신뢰 한계를 계산합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
이 값의 범위가 넓다는 것은 데이터가 산점해 있는 정도가 심하다는 의미입니다.
4. confidence 함수를 호출하여 1-3단계를 반복합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
confidence 함수는 첫째 열의 신뢰 구간 너비와 둘째 열의 t 인수를 구합니다. 너비를 t 인수로 나누면 두 매개변수에 표준 오차가 다시 나옵니다.
이 식을 복사하려면 클릭
5. 신뢰 한계를 구하려면 관련 매개변수에서 너비를 더하거나 뺍니다.
이 식을 복사하려면 클릭
6. augment 함수를 사용하여 각 회귀 계수의 표준 오차가 polyfitc 함수로 구한 행렬에 기록된다는 것을 보여줍니다.
이 식을 복사하려면 클릭
회귀의 신뢰 구간
1. lengthmean 함수를 사용하여 회귀 자체의 신뢰 구간을 계산합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
2. 위 함수를 사용하여 임의의 x 예측값에 대한 신뢰 구간을 계산합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
3. 행렬 계산을 사용하면 다음과 같습니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
4. 전체 회귀 영역에 대해 데이터, 최적합 선 및 신뢰 구간을 도표화합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
예측값의 신뢰 영역이 측정값 중앙에 가까울수록 잘록하게 들어가는 것을 알 수 있습니다. 회귀를 계산하는 데 사용한 수식이 평균을 기반으로 하므로 데이터의 평균에 근접할수록 예측값이 더 정확해지기 때문입니다.
5. 측정값에 대한 신뢰 한계를 계산합니다. 이 한계는 예측값에 대한 한계와 약간 다릅니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
6. 행렬 계산을 사용하면 다음과 같습니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
7. 신뢰 한계를 오차 그래프선으로 도표화합니다.
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
이 식을 복사하려면 클릭
* 
신뢰 구간을 벗어난 측정값이 이상치를 나타내므로 이상치를 검출하는 데 그래프를 사용할 수 있습니다.
도움이 되셨나요?