Exemple : Effets de la variable TOL et méthode d'intégration définie
Paramètre de tolérance
Examinez comment la variable système de tolérance de convergence (TOL) affecte les résultats des intégrales. Vous pouvez définir la TOL dans l'onglet Calcul, au niveau du groupe Paramètres du document, ou directement à partir du document.
1. Calculez l'intégrale suivante.
Le résultat est calculé à l'aide de la valeur par défaut TOL :
2. Elargissez la tolérance et recalculez l'intégrale.
3. Restreignez la tolérance et recalculez l'intégrale.
Fonctions discontinues
Les fonctions discontinues peuvent devenir instables à certaines valeurs d'intégrales si leurs amplitudes sont larges et les discontinuités nettes. Vous devez déterminer l'intégrale d'intégration qui renferme la base de la zone avant l'intégration. Vous pouvez faire l'essai avec TOL.
1. Utilisez la fonction Heaviside StepΦ pour définir une fonction en dent de scie discontinue.
2. Définissez la variable de tolérance de convergence.
La valeur minimale de TOL (10-15) est trop faible pour les fonctions extrêmement discontinues et l'algorithme risque de renvoyer des estimations erronées.
3. Tracez la fonction en dent de scie f(x) et ses intégrales Int(x). Mettez à l'échelle la fonction d'intégrale en appliquant un facteur de 4.
La fonction intégrale a un pic autour de x = 15. Ceci peut se produire lors de l'intégration de fonctions discontinues. La diminution de TOL au-dessous de 10-10 accentue cet effet.
4. Pour obtenir une réponse valable, séparez l'intégrale en morceaux correspondant aux discontinuités de la fonction.
5. Tracez f(x) et Int2(x).
Le pic autour de x = 15 a disparu.
Limites de l'intégration
L'intégration numérique est cependant limitée. Le résultat de l'intégration de pulsations très rapprochées dans une fonction à valeurs nulles est souvent zéro. De manière générale, si l'intégrande est nul dans plus de 95 % de la zone d'intégration, l'algorithme peut ne pas être en mesure d'évaluer l'intégrande comme un des points non nuls.
1. Définissez et tracez une impulsion étroite de largeur 0.05 au sein d'un signal de valeur zéro de largeur 1.0.
2. Calculez l'intégrale numérique de la fonction.
Le résultat doit être égal à l'aire de l'impulsion, 0.05x1.0 ou 0.05.
3. Corrigez ce problème en intégrant sur une zone plus petite contenant la partie non nulle de l'intégrande.
