Utilice las funciones
bessel, butter, cheby1, cheby2,
iirlow, iirhigh, iirpass y
iirstop para generar coeficientes de un filtro de paso bajo analógico del tipo especificado. Utilice los coeficientes como argumentos para una de las funciones iir, que apliquen una escala y realicen la transformación lineal para producir la respuesta en frecuencia necesaria.
• Para los filtros de paso bajo y de paso alto con orden par N, todas las secciones son de segundo orden y tienen tres coeficientes en cada columna. Si el orden es impar, la última sección es de primer orden. Para los filtros de paso banda y supresor de banda, la conversión a un filtro digital dobla el orden de cada sección.
• Las funciones
gain y
response aceptan arrays de coeficiente con la forma que producen estas funciones. La ganancia compleja se obtiene mediante la multiplicación de las ganancias de sección y la respuesta, mediante el suministro de la respuesta de cada sección a la siguiente sección.
• Estas funciones implementan los algoritmos del capítulo 7 de Signal Processing Algorithms de Samuel Stearns y Ruth David (Prentice-Hall, Inc.).
Filtro de paso bajo tipo I de Chebyshev
1. Defina el orden, el parámetro de rizado y la frecuencia de corte.
2. Utilice las funciones iirlow y cheby1 para generar los coeficientes de filtro.
El filtro A tiene cuatro secciones cuadráticas.
3. Trace la magnitud de la ganancia y utilice un marcador horizontal para marcar el nivel de rizado.
La función de transferencia se proporciona como un producto de factores cuadráticos, por lo que el trazado de polos en el plano complejo es sencillo.
4. Busque las raíces complejas de cada factor del denominador.
Los polos de la función de transferencia del filtro A son las raíces de los términos cuadráticos con los coeficientes especificados en las columnas pares de A, con el coeficiente del término cuadrático en primer lugar.
5. Busque una raíz para cada factor del denominador.
6. Rellene las funciones conjugadas.
7. Muestre los polos de la función de transferencia y trácelos en el plano complejo. Añada una traza de círculo unidad de referencia.
En el gráfico se muestra que los ochos polos se encuentran en el círculo unidad, por lo que el filtro es estable, tal como se requiere.
8. Utilice la función
max para verificar numéricamente que los ocho polos se encuentran dentro del círculo unidad.
9. Aplique la función
response y, a continuación, trace la respuesta en impulso del filtro A. Como primer argumento, proporciónele un vector de longitud 1 que represente un impulso unidad.
La longitud de la respuesta es infinita, pero baja hasta casi 0 después de los primeros 80 términos. La condición de estabilidad garantiza que la suma de los valores absolutos de la respuesta está limitada.
Filtro de paso bajo tipo II de Chebyshev
1. Defina los parámetros para un filtro de paso bajo tipo II de Chebyshev.
2. Utilice la función
tan para calcular la escala.
Consulte el libro de Stearns y David para ver la teoría que respalda este cálculo; este número siempre será mayor que 1.
3. Utilice las funciones iirlow y cheby2 para calcular los coeficientes de un filtro IIR de paso bajo y de quinto orden con una frecuencia de corte f=pass.
La matriz de coeficientes tiene dos secciones cuadráticas y una sección lineal.
4. Utilice la función gain para calcular la ganancia en cada una de las frecuencias y, a continuación, trace la respuesta en frecuencia. Utilice marcadores para mostrar las frecuencias pass y stop, y la inversa del nivel de atenuación.
En el gráfico de respuestas se muestra el grado en que se cumplen los criterios de diseño. Los marcadores ayudan a ver que la banda de supresión comienza en la ubicación requerida (la intersección de las líneas stop y 1/atten) y que la banda pasante finaliza a la derecha de la frecuencia de corte.
5. Utilice las funciones iirlow y cheby2 para repetir el diseño anterior con una atenuación mayor.
Cuanto mayor sea la atenuación, mayor tendrá que ser el orden del filtro para que la banda de transición disminuya al ancho necesario. Pruebe con un filtro de quinto orden y otro de octavo orden y compare los resultados.
6. Trace la ganancia de un filtro de quinto orden en dB. Utilice marcadores para marcar la frecuencia de paso y la atenuación deseada de 30 dB.
7. Trace la ganancia de un filtro de octavo orden en dB. Utilice marcadores para marcar la frecuencia de paso y la atenuación deseada de 30 dB.
Mientras que la ganancia por debajo de la línea de -30 dB es similar alrededor de la frecuencia de supresión de ambos filtros, la ganancia del filtro de octavo orden sigue plana después de frecuencia de corte. Es decir, se necesita un filtro de octavo orden para conseguir la atenuación deseada de 1000.
Cálculo del factor de escala
Las ecuaciones siguientes muestran la definición del factor de escala de los filtros de paso alto, paso banda y supresión de paso.
• Filtro de paso alto:
• Filtro de paso banda:
Los parámetros pass1 y pass2 son los bordes inferior y superior de la banda pasante y los parámetros stop1 y stop2, los bordes de las dos bandas de supresión.
• Filtro supresor de banda:
Los parámetros pass1 y pass2 son los bordes de las dos bandas pasantes y los parámetros stop1 y stop2, los bordes inferior y superior de la banda de supresión.
1. Defina los parámetros de un filtro de paso de banda:
2. Calcule la escala de un filtro de paso de banda mediante los parámetros anteriores.
3. Calcule los coeficientes para el filtro de paso banda anterior.
4. Trace la respuesta en dB y muestre los marcadores stop y pass.
El borde derecho de la banda de supresión coincide exactamente en la posición correcta, mientras que el borde izquierdo de la banda de supresión se eleva justo por encima del valor de frecuencia de destino. Esto quiere decir que esta banda de transición es más estrecha de lo necesario.
Filtro de paso bajo de Bessel
Se devuelve un filtro de Bessel como una sola sección.
1. Defina los parámetros del filtro de Bessel.
El parámetro de escala se puede utilizar para controlar la ganancia en la frecuencia de corte.
2. Utilice la función bessel para calcular los coeficientes del filtro de Bessel.
3. Trace la ganancia y muestre la ganancia en la frecuencia de corte.
4. Cambie la ganancia inferior en la frecuencia de corte para obtener una mayor atenuación en la banda de supresión utilizando el factor de escalado.
R es la función de transferencia analógica correspondiente a los coeficientes analógicos B1.
5. Utilice la función
root, con un valor de prueba inicial de 1, para buscar el punto en que la función de transferencia analógica R es igual a 0.8 en la frecuencia de corte.
El marcador scale cruza la curva de ganancia en 0.8.
El valor de prueba debe ser un número positivo, de modo que el resultado sea un valor de escala positivo.
6. Vuelva a calcular los coeficientes del filtro digital con el factor de escala calculado.
7. Trace la nueva respuesta en frecuencia y muestre la ganancia en la frecuencia de corte.
El gráfico muestra que la nueva respuesta en frecuencia presenta una transición más brusca hasta cero pasada la frecuencia de corte. El uso del factor de escala tiene como resultado una mayor atenuación de la banda de supresión.
Filtros de paso banda, supresor de banda y paso alto de Butterworth
Las funciones iirpass e iirstop doblan el orden de los coeficientes de entrada, de modo que los coeficientes analógicos de cuarto orden tienen como resultado un filtro de octavo orden.
Filtro de paso de banda de Butterworth
1. Defina los parámetros de filtro.
2. Calcule los coeficientes.
3. Trace la respuesta. Utilice marcadores verticales para mostrar las frecuencias bajas y altas.
La respuesta muestra que se permite el paso de las frecuencias entre f_lo y f_hi. Todas las demás se filtran.
Filtro supresor de banda de Butterworth
1. Defina el orden del filtro.
2. Utilice las funciones iirstop y butter para calcular los coeficientes.
3. Trace la respuesta. Utilice marcadores verticales para mostrar las frecuencias bajas y altas.
La respuesta muestra que se ha detenido el paso de las frecuencias entre f_lo y f_hi. Se permite el paso de todas las demás.
Filtro de paso alto de Butterworth
1. Defina el orden del filtro.
2. Utilice las funciones iirhigh y butter para calcular los coeficientes.
A diferencia de las funciones iirpass e iirstop, la función iirhigh no dobla el orden de los coeficientes de entrada. Por lo tanto, el valor de orden se ha pasado tal cual a la función butter.
3. Trace la respuesta. Utilice un marcador vertical para mostrar la frecuencia alta.
La respuesta muestra que se permite el paso de las frecuencias más altas que f_hi. Todas las demás se filtran.
