Die Funktion
gain gibt den Zuwachs an der Monofrequenz an. Wenn Sie einen Vektor mit Frequenzen verwenden, gibt die Funktion einen Vektor der Zuwächse (Übertragungsfunktion) zurück. Dies ist für das Plotten äußerst nützlich.
Zuwachs eines Tiefpassfilters
1. Verwenden Sie die Funktion
iirlow, um die Koeffizienten der 2. Ordnung abzurufen, die einem IIR-Butterworth-Tiefpassfilter mit der Grenzfrequenz f entspricht.
Die Matrix A enthält die Filterkoeffizienten, sodass die Übertragungsfunktion folgendermaßen lautet:
2. Verwenden Sie die Funktion gain, um den Zuwachs des Filters bei Frequenz x zu berechnen.
3. Plotten Sie den Betrag des Zuwachses über die Frequenzen im Bereich von 0 bis 0.5 der Abtastfrequenz.
Der Zuwachs der Grenzfrequenz fällt auf 0.707.
4. Skalieren Sie die Frequenz, sodass die Abtastfrequenz durch 2π dargestellt wird, und teilen Sie anschließend das Frequenzargument für die Zuwachsfunktion durch 2π.
Die Grenzfrequenz bei 0.2 der vollständigen x-Skala tritt jetzt bei 0.4 der vollständigen ω-Skala oder 0.4 π auf.
Tiefpassfilter höherer Ordnung
1. Verwenden Sie die Funktion iirlow, um die Koeffizienten der 6. Ordnung abzurufen, die einem IIR-Butterworth-Tiefpassfilter mit der Grenzfrequenz f entspricht.
2. Verwenden Sie die Funktion gain, um den Zuwachs des Filters bei Frequenz x zu berechnen.
3. Plotten Sie den Betrag des Zuwachses über die Frequenzen im Bereich von 0 bis 0.5 der Abtastfrequenz.
4. Vergleichen Sie die Antworten der beiden Filter, indem Sie die Antworten im selben Diagramm grafisch darstellen.
◦ Die Antwort des Filters der 6. Ordnung fällt schneller ab als die Antwort des Filters der 2. Ordnung.
◦ Beide Filter weisen denselben Zuwachs bei einer Grenzfrequenz von 0.2 auf.
Berechnen Sie den Zuwachs eines FIR-Filters.
Berechnen Sie den Zuwachs für einen nichtrekursiven Filter, der mit der Funktion
bandpass entwickelt wurde.
1. Berechnen Sie die Koeffizienten für einen Bandfilter der Länge 51, indem Sie ein Blackman-Fenster mit einem Durchlassband zwischen f_low und f_high verwenden.
F entspricht einem Array mit 41 Elementen.
2. Berechnen Sie den Zuwachs dieses Filters.
3. Stellen Sie den Zuwachs grafisch in dB dar.
Der Zuwachs ist zwischen der niedrigsten und der höchsten Grenzfrequenz maximal.
Funktionsdefinition
Mit dem Summationsoperator können Sie die Zuwächse direkt anhand der Definition der Übertragungsfunktion berechnen.
Berechnen Sie den Zuwachs von Filter F mit einer Frequenz von x.
Dies ist die Übertragungsfunktion, die mit z = 2πx ausgewertet wird.
gain ist schneller als der Summationsoperator. Deshalb ist diese Funktion nützlich für die Berechnung des Zuwachses bei einer großen Anzahl an Frequenzen. Verwenden Sie gain beispielsweise für das Plotten des Frequenzbereichs. Bei sehr großen Filtern dauert auch die Berechnung mit gain ziemlich lange. Wählen Sie deshalb zum Plotten ein recht grobmaschiges Raster (z.B. 0.01).
Phase des FIR-Filters
Diese Phase des komplexen Zuwachses stellt die Phasenverschiebung des Filters dar.
1. Legen Sie die Grenzfrequenz für den FIR-Filter fest.
2. Berechnen Sie die Koeffizienten für einen Tiefpassfilter mit einem Hanning-Fenster (letztes Argument von 4) in der Funktion
lowpass.
3. Stellen Sie die Phasenänderung mit der Funktion
arg grafisch dar. Die Funktion gibt das Hauptargument der komplexen Zahl z zwischen -π und π einschließlich π zurück.
Die Phase ist im Durchlassband (unterhalb der Grenzfrequenz) linear. Beachten Sie jedoch die Wirkung der Filterverzögerung.
4. Berechnen Sie den komplexen Zuwachs relativ zum verzögerten Signal, indem Sie die Übertragungsfunktion der Verzögerung D teilen.
dabei gilt:
Für diesen Filter der Länge 37 weist die Verzögerung D den Wert 18 auf, sodass die relative Phasenverschiebung folgendermaßen lautet:
◦ Wenn der Zuwachs reell und negativ ist, können Rundungsfehler in der Zuwachsberechnung zu einem winzigen positiven oder negativen Imaginärteil führen, sodass die Phase möglicherweise willkürlich zwischen π und -π springt.
◦ Um sicherzustellen, dass diese Werte einheitlich gehandhabt werden, definieren Sie die Funktion arg folgendermaßen um:
5. Plotten Sie die Höhe des Zuwachses in Dezibel.
6. Plotten Sie die Phasenverschiebung relativ zum verzögerten Signal.
