Theorie der Kavitationsmodelle

In der Gleichung 2.169 für den Dampftransport sind Re und Rc die Quellen-Terme für den Massenübergang, die mit dem Wachstum und Zusammenbruch der Dampfblasen in Kavitationsflüssen verbunden sind. Diese Terme berücksichtigen den Massenaustausch zwischen der Dampf- und der Flüssigphase während eines Kavitationsprozesses. Re und Rc werden auf der Basis der Rayleigh-Plesset-Gleichung modelliert, die das Wachstum einer einzigen Dampfblase in einer Flüssigkeit beschreibt.

Um einen Ausdruck der resultierenden Phasenänderungsrate in der Kavitation abzuleiten, betrachten Sie einen inkompressiblen Flüssigkeit-Dampf-Zweiphasenfluss mit einer Schlupfgeschwindigkeit null, bei dem nicht kondensierbares Gas nicht berücksichtigt wird. Wenn Sie R einführen, um die resultierende Rate des Massenübergangs von der Flüssigkeit zum Dampf darzustellen, lauten die Flüssigkeits- und Dampfvolumengleichungen und die Kontinuitätsgleichung der Gesamtmasse wie folgt:

In dem Flüssigkeit-Dampf-Zweiphasensystem wird die Mischungsdichte ρ als Dampfvolumenanteil und Phasendichten ausgedrückt:

Da die Flüssigkeits- und die Dampfdichte als konstant (inkompressibel) angenommen werden, wird eine Beziehung zwischen dem Geschwindigkeitsgradienten und dem Dampfvolumenanteil aus Gleichung 2.181 und Gleichung 2.182 abgeleitet:

Durch das Kombinieren von Gleichung 2.179 und Gleichung 2.183 ergibt sich der Ausdruck für den Nettomassenquellen-Term wie folgt:

Durch Substitution der Gleichung 2.184 in Gleichung 2.180 wird die Gleichung für den Dampfvolumenanteil in die allgemeine Form umgeschrieben:

Durch Anwenden der Beziehung zwischen dem Massenanteil und dem Volumenanteil der Gleichung 2.173 für Dampf erhalten Sie Gleichung 2.185 als Dampfmassenanteil:

Aus Gleichung 2.185 und Gleichung 2.186 wird klar, dass unter der Bedingung einer Schlupfgeschwindigkeit null zwischen der Flüssigkeits- und der Dampfphase die Kavitation als einphasiger Fluss mit einer zusätzlichen Dampfmassenanteilübergangsgleichung oder als Eulerscher Mehrphasenmischungsfluss mit einem Flüssigkeit-Dampf-Massenübergang modelliert werden kann. Ohne Berücksichtigung des Effekts der Differenz der Diffusions- und Phasengeschwindigkeit sind die zwei Ansätze mathematisch identisch. Creo Flow Analysis verwendet den einphasigen Ansatz zur Modellierung von Kavitationsflüssen.

Bei den meisten natürlichen Vorkommen und technischen Systemen gibt es eine ausreichende Anzahl von Kernen wie Blasen, nicht kondensierbaren Gasen usw. in der Flüssigkeit, um eine Kavitation entstehen zu lassen. Bei der Modellierung des Kavitationsprozesses liegt der Schwerpunkt daher primär auf der korrekten Berücksichtigung von Blasenwachstum und -zusammenbruch. Unter der Annahme, dass in einer fließenden Flüssigkeit eine Schlupfgeschwindigkeit null zwischen der Flüssigkeit und den Dampfblasen besteht, wird die Gleichung der Blasendynamik aus der allgemeinen Rayleigh-Plesset-Gleichung abgeleitet, die das Wachstum einer Gasblase in einer Flüssigkeit beschreibt:

RB	Blasenradius
pB	Druck in der Blase (angenommen als der Dampfdruck bei der Flüssigkeitstemperatur bei Fehlen anderer Gase)
p	Druck in der die Blase umgebenden Flüssigkeit
σ	Oberflächenspannungskoeffizient zwischen der Flüssigkeit und dem Dampf

Diese Gleichung wird aus dem mechanischen Gleichgewicht abgeleitet (keine thermischen Barrieren für das Blasenwachstum).

Wenn Sie die quadratische Zeitableitung (geeignet für niederfrequente Schwingung), den viskosen Dämpfungsterm und die Oberflächenspannungskraft vernachlässigen, erhalten Sie einen verkürzten Ausdruck der Gleichung 2.187, der für den asymptotischen Zustand gilt:

Diese verkürzte Rayleigh-Plesset-Gleichung liefert einen physikalischen Ansatz, um die Effekte der Blasendynamik in Kavitationsmodelle einzuführen. Der Blasenradius kann je nach den Vorzeichen von (pB–p) zu- oder abnehmen: Die Blase wächst, wenn p<pB, und bricht zusammen, wenn p>pB. Daher wird die Gleichung 2.188 wie folgt umgeschrieben:

Wenn η die Dichte der Dampfblasenanzahl in einer Flüssigkeit (die Anzahl der pro Volumeneinheit vorhandenen Blasen) ist und alle Dampfblasen perfekte Kugeln mit demselben Radius RB sind, ist der Dampfphasenvolumenanteil wie folgt:

Es wird angenommen, dass die Dampfblasen in einer Flüssigkeit nicht erzeugt oder zerstört werden können, aber dass die Blasen während eines Kavitationsprozesses wachsen (Verdampfung) und zusammenbrechen (Kondensation) können. In Gleichung 2.190 bleibt die Dampfblasenanzahl-Dichte (η) eine Konstante, während der Blasenradius (RB) zu- oder abnimmt. Dann wird die Zeitableitung des Dampfvolumenanteils wie folgt berechnet:

Wenn man Gleichung 2.191 in Gleichung 2.186 substituiert, erhält man die Transportgleichung für den Dampfphasenmassenanteil:

Durch Anwenden von Gleichung 2.189 ergibt sich für die Nettorate des Massenübergangs pro Volumeneinheit zwischen Flüssigkeit und Dampf die folgende Formel:

wobei Gleichung 2.193 angibt, dass bei der Kavitation die Volumeneinheit-Massenübergangsrate (R) die Funktion von (proportional zu) sowohl Dampf- als auch Flüssigphasendichte ist, und auch umgekehrt proportional zur Mischungsdichte ist. Da Gleichung 2.192 direkt aus den Phasen- und Mischungs-Massenkontinuitäten berechnet wird, ist sie exakt und sollte den Massenübergang zwischen der Flüssigkeits- und Dampfphase in der Kavitation genau darstellen. Mit der Einführung der Blasendynamik verwendet Gleichung 2.193 den gleichen Ansatz, um die zwei entgegengesetzten und physikalisch unterschiedlichen Massenübergangsprozesse von Flüssigkeit zu Dampf (Blasenwachstum oder Verdampfung) und von Dampf zu Flüssigkeit (Blasenzusammenbruch oder Kondensation) zu modellieren. Bei der Transportgleichung für den Dampfmassenanteil Gleichung 2.192 ist das Blasenwachstum ein Quellen-Term, während der Blasenzusammenbruch ein Senken-Term ist.

In praktischen Kavitationsmodellen wird normalerweise angenommen, dass der lokale Fernfelddruck p gleich dem Druck in der Zellenmitte ist. Der Blasendruck pB ist gleich dem Sättigungsdampfdruck (psat, eine Materialeigenschaft) bei Fehlen von gelösten Gasen, Massenübergang und viskoser Dämpfung pB=psat

Vergleicht man Gleichung 2.192 und Gleichung 2.193 mit der allgemeinen Gleichung 2.169 für den Dampfmassenanteil, sind die Quellen-Terme Re und Rc wie folgt:

Gleichung 2.194 und Gleichung 2.195 bilden die Grundlage nahezu aller verfügbaren mechanistischen Zweiphasen-Kavitationsmodelle: Creo Flow Analysis verwendet den Modellierungsansatz von Singhal et. al.

Nicht kondensierbare Gase sind in einer Arbeitsflüssigkeit oft vorhanden und können erhebliche Auswirkungen auf die Kavitation haben. Manchmal wird ein nicht kondensierbares Gas frei mit der Flüssigkeit transportiert und löst sich auch in einer Flüssigkeit oder wird aus einer Flüssigkeit freigesetzt, mit dem Ziel, ein dynamisches Gleichgewicht der Massenkonzentrationen zwischen den Flüssigkeits- und Gasphasen zu erreichen. Die Gasabsorption, -lösung und -freisetzung in einer Flüssigkeit ist ebenfalls ein Phänomen des Flüssigkeit-Dampf-Massenübergangs, das durch die Unterschiede und Gradienten der Massenkonzentration gesteuert wird. Für die Modellierung von Kavitationsflüssen ist es notwendig, auch den Effekt des nicht kondensierbaren Gases und den möglichen Flüssigkeit-Dampf-Massenübergang im Mischungsfluss zu berücksichtigen.

Unter der Annahme, dass in einem Flüssigkeit-Dampf-Zweiphasenfluss ein nicht kondensierbares Gas wie Luft oder Sauerstoff sowohl in der Flüssigphase (gelöstes Gas) als auch in der Gasphase (freies Gas) vorhanden ist, sehen die Gasmassenanteil-Transportgleichungen in jeder Phase wie folgt aus:

fg,f	Massenanteile des freien Gases
fg,d	Massenanteile des freien Gases und des gelösten Gases
Sg,f, Sg,d	externe oder benutzerdefinierten Quellen
Dg,f	Diffusität des freien Gases und des gelösten Gases
Dg,d	Diffusität des gelösten Gases

Wenn die zwei Phasen in Kontakt sind, tendieren das freie Gas f und das gelöste Gas d, die aus einer Phase in die andere transportiert werden, dazu, ein dynamisches Gleichgewicht zwischen den zwei Phasen zu erreichen. Die Gleichgewichtsmodelle nehmen an, dass die volumetrischen Raten der Massenübergänge von den Massekonzentrationsgradienten oder -unterschieden abhängen:

AI	Flüssigkeit-Gas-Schnittstellenbereich
kf,d(=kd,f)	Volumetrischer Massenübergangskoeffizient
ρg,d(=ρfg,d)	lokale Massenkonzentrationen von gelöstem Gas
ρg,f(=ρfg,f)	lokale Massenkonzentrationen von freiem Gas
	Gleichgewichtsmassenkonzentrationen des gelösten Gases in seinen Hostingphasen
	Gleichgewichtsmassenkonzentrationen des freien Gases in seinen Hostingphasen

Beachten Sie, dass

die Einheit der inversen Zeit, 1/s, hat, ein Indikator für Massenübergangseffizienz. Daher haben die Gleichung 2.200 und die Gleichung 2.201 auch die folgenden Formen:

In der Regel sind

und

nicht gleich (Diskontinuität). Es gibt eine optimal definierte Gleichgewichtskurve zwischen den beiden Konzentrationen, die von der Temperatur, vom Druck und von den Mischungszusammensetzungen abhängt. Die Kurve ist normalerweise gleichförmig und nichtlinear und wird häufig als quasilineare Beziehung mit dem Koeffizienten

ausgedrückt,

wobei Kf,d normalerweise mithilfe von physikalischen Gesetze oder empirischen Korrelationen entschieden wird. Ein üblicher Ansatz besteht darin, dem Gesetz von Henry zu folgen, das eine generalisierte Gleichgewichtsbeziehung liefert. Es besagt, dass für eine Flüssigkeitsmischung, die in Kontakt mit der Gasphase ist, der Partialdruck des freien Gas ρg,f gleich dem Produkt des Molenbruchs des gelösten Gases im Gleichgewicht in der Flüssigphase,

und der Henry-Konstante, Hx, ist:

Daher hat die Henry-Konstante eine Druckeinheit und kann als Referenzdruck betrachtet werden. Angenommen, dass für eine ideale Flüssigkeitsmischung in Kontakt mit Gas die Henry-Konstante der Sättigungsdampfdruck psat ist, wird Gleichung 2.207 auch wie folgt angegeben:

In Gleichung 2.202 und Gleichung 2.203 sind

und

die Massenkonzentrationsunterschiede/-gradienten, die Antriebskräfte für die Absorption/Lösung und Freisetzung der nicht kondensierbaren Gase. Dies gibt an, dass der Transport des nicht kondensierbaren Gases über zwei Phasen erfordert, dass die Massenkonzentration ihren Gleichgewichtszustand verlässt. Die Richtung des Massenübergangs verschiebt das System hin zum Gleichgewicht, abhängig von lokalen und den dem Gleichgewicht entsprechenden Massenkonzentrationen in beiden Phasen. Aus dem Gleichgewichtsmodell ergibt sich Folgendes:

◦ Gasabsorption/-lösung in eine Flüssigkeit – Ein Massenübergang findet aus der Gasphase (freies Gas) hin zur Flüssigphase (gelöstes Gas) statt. Das Gleichgewichtsmodell geht davon aus, dass das freie Gas an der Gasphase im Gleichgewichtszustand ist:

. Unter Verwendung von Gleichung 2.204 und Gleichung 2.209 ergibt sich Folgendes:

◦ Gasfreisetzung aus einer Flüssigkeit – Ein Massenübergang findet aus der Flüssigphase (gelöstes Gas) hin zur Gasphase (freies Gas) statt. Bei diesem Prozess geht das Gleichgewichtsmodell davon aus, dass sich das gelöste Gas in der Flüssigphase immer im Gleichgewichtszustand befindet:

. Aus Gleichung 2.202, Gleichung 2.203, Gleichung 2.204 und Gleichung 2.209 ergeben sich folgende Massenübergangsraten:

Beachten Sie, dass dann, wenn ein Teil des nicht kondensierbaren Gases in der Flüssigkeit gelöst ist, das frei expandierbare Gas nur der Teil ist, der in der Gasphase verbleibt, fg,f. Daher wird die Mischungsdichte wie folgt berechnet: