Методы численного интегрирования
Если интеграл рассчитывается численно, PTC Mathcad использует метод адаптивной квадратуры. Для улучшения результатов может возникнуть необходимость изменения TOL, конечных точек или подынтегрального выражения:
• Уменьшение значения TOL может улучшить результаты, но при этом в какой-то точке интеграл не сойдется. Хорошим рабочим диапазоном является диапазон от 10-4 до 10-6.
• Можно получить более точные ответы, если задать в качестве конечных точек бесконечность и использовать алгоритм, допускающий использование бесконечности в качестве конечных точек.
• Подынтегральные выражения с острым максимумом, как и функции, чья форма не характеризуется полностью одним масштабом длин, не могут быть вычислены точно. Можно получить более точные результаты, разбив интеграл на части и отдельно проинтегрировав пик остальной части графика.
• PTC Mathcad обычно не может интегрировать функции, имеющие сингулярности в интервале интегрирования. Ступенчатые и пилообразные функции с многими конечными разрывами могут также привести к несходимости интегралов. Если известно расположение сингулярностей в подынтегральном выражении, можно получить правильную численную оценку, разбив интеграл на сумму интегралов с этими точками в качестве пределов. Чтобы найти потенциальные сингулярности или нарушения непрерывности, постройте график интеграла.
Дополнительные сведения
Применение адаптивного метода к несобственному интегралу скорее всего приведет к неверному численному результату. Алгоритм адаптивной интеграции требует аппроксимировать функцию полиномом в каждом разбиении подинтервалов, чтобы можно было использовать метод квадратур Гаусса. Невозможность обеспечить непрерывность подинтегрального выражения может привести к неверным результатам или сбою сходимости.