Пример: Эффекты TOL и метода определенного интегрирования

Операторы > Операторы математического анализа > Пример: Эффекты TOL и метода определенного интегрирования

Параметр допуска

Посмотрите, как допуск сходимости системных переменных (TOL) отражается на результатах вычисления определенных интегралов. TOL можно задать на вкладке Расчет (Calculation) в группе Параметры документа (Worksheet Settings) или в самом документе.

1. Вычислите следующий интеграл.

Щелкните для копирования этого выражения

Для вычисления ответа используется значение по умолчанию TOL:

2. Сделайте допуск свободнее и вычислите интеграл заново.

3. Сделайте допуск строже и вычислите интеграл заново.

Прерывные функции

Прерывные функции могут оказаться нестабильными при некоторых значениях интегралов, если у них большие амплитуды и резкие прерывности. Перед интегрированием необходимо определить интервал интегрирования, который содержит основную часть площади. Можно также поэкспериментировать с TOL.

1. Используйте функцию Heaviside Step Φ для определения прерывистой пилообразной функции.

2. Определите переменную допуска сходимости.

Минимальное значение TOL (10-15) слишком мало для крайне прерывистых функций, и алгоритм может вернуть неточные оценки.

3. Постройте график пилообразной функции f(x) и соответствующей интегральной функции Int(x). Масштабируйте интегральную функцию по коэффициенту 4.

<region id="ID0EQARR" actualWidth="575.50769230769185" actualHeight="260" top="1152.0000000000002" left="38.400000000000006" height="260" width="575.50769230769185" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="135">
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="136">
          <traceStyle color="#FFFF0000" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="421.907692307692" height="202.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="20">
          <axisLine position="origin" positionticmark="2" legendWidth="60.93" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers>
            <marker resultRef="137" display="true" color="#FF068149" line-style="Dash" value="15">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">15</real>
            </marker>
          </markers>
          <numberFormat>
            <decimal precision="15" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="143">
                <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">x</id>
              </math>
              <math resultRef="144">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="140">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="142">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">2</real>
            </secondTickValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-60000" end="180000">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="108.633333333333" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>9</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <decimal precision="15" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="151">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">f</id>
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">x</id>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="152">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math resultRef="153">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">Int1</id>
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">x</id>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="154">
                <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">4</real>
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="146">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-60000</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="148">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-30000</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="150">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">180000</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

Интегральная функция имеет пик в окрестностях x = 15. Это может произойти при интегрировании прерывных функций. Уменьшение TOL ниже 10-10 только ухудшит результат.

4. Чтобы получить точный ответ, разбейте интеграл на части, соответствующие прерывности функции.

5. Постройте график функции f(x) и вновь определенной функции Int2(x).

<region id="ID0EPERR" actualWidth="575.5076923076922" actualHeight="260" top="1747.2000000000003" left="38.400000000000006" height="260" width="575.5076923076922" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="169">
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="170">
          <traceStyle color="#FFFF0000" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="421.907692307692" height="202.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="20">
          <axisLine position="origin" positionticmark="2" legendWidth="60.93" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers>
            <marker resultRef="171" display="true" color="#FF068149" line-style="Dash" value="15">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">15</real>
            </marker>
          </markers>
          <numberFormat>
            <decimal precision="15" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="177">
                <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">x</id>
              </math>
              <math resultRef="178">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="174">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="176">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">2</real>
            </secondTickValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-60000" end="180000">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="108.633333333333" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>9</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <decimal precision="15" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="185">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">f</id>
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">x</id>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="186">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math resultRef="187">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">Int2</id>
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">x</id>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="188">
                <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">4</real>
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="180">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-60000</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="182">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-30000</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="184">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">180000</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

Пик в окрестностях x = 15 исчезает.

Ограничения интеграции

Одним из ограничений численного интегрирования является то, что очень узкие импульсы в функции с обычно нулевым значением часто интегрируются до нуля. Обычно если подынтегральное выражение равно нулю на более чем 95 % области интегрирования, то алгоритм может не вычислить подынтегральное выражение в одной из ненулевых точек.

1. Определите и постройте график узкой пульсации шириной 0.05 в сигнале с нулевым значением шириной 1.0.

<region id="ID0EHHRR" actualWidth="575.69230769230785" actualHeight="312" top="2265.6000000000004" left="38.400000000000006" height="312" width="575.69230769230785" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="203" num-of-points="500">
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="460.492307692308" height="254.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="58.32" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <decimal precision="15" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="210">
                <id xml:space="preserve" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">t</id>
              </math>
              <math resultRef="211">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="205">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="207">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0.1</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="209">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">1</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="0" end="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="79.6933333333333" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>3</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <decimal precision="15" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="214">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">f</id>
                  <id xml:space="preserve">t</id>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="215">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="213">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0.5</real>
            </secondTickValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

2. Вычислите числовой интеграл функции.

Результат должен равняться площади пульсации 0.05x1.0 или 0.05.

3. Устраните эту проблему путем интеграции по небольшой области, содержащей ненулевую часть подынтегрального выражения.

Интеграл вернет правильное значение.

Похожие темы

Оператор интеграла

Методы численного интегрирования

Было ли это полезно?