示例：矩阵的 dft 和 idft

函数 > 变换和滤波器 > 示例：矩阵的 dft 和 idft

示例：矩阵的 dft 和 idft

使用函数 dft 和 idft 求解矩阵的正逆离散傅立叶变换。

1. 定义数据矩阵的维数。

2. 使用 exp 函数来创建 MxN 维复数矩阵。

<region id="ID0EPK4CB" actualWidth="213.71333333333337" actualHeight="55.6" align-x="0" align-y="-35.24133333333333" top="288.00000000000006" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="23">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <indexer />
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">A</id>
        <sequence>
          <id labels="*" xml:space="preserve">m</id>
          <id labels="*" xml:space="preserve">n</id>
        </sequence>
      </apply>
      <apply>
        <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve">exp</id>
        <apply>
          <mult />
          <apply>
            <div />
            <apply>
              <neg />
              <apply>
                <pow />
                <parens>
                  <apply>
                    <minus />
                    <apply>
                      <plus />
                      <id xml:space="preserve">m</id>
                      <id xml:space="preserve">n</id>
                    </apply>
                    <real>8</real>
                  </apply>
                </parens>
                <real>2</real>
              </apply>
            </apply>
            <real>8</real>
          </apply>
          <imag symbol="i">1</imag>
        </apply>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

3. 使用函数 dft 计算 A 的离散傅立叶变换。

4. 使用 dft 的定义来计算 Z 的特定元素。

<region id="ID0E6N4CB" actualWidth="95.51" actualHeight="54.702666332244874" align-x="0" align-y="-35.102666332244873" top="480.00000000000006" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="25">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <indexer />
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">ω</id>
        <id labels="*" xml:space="preserve">M</id>
      </apply>
      <apply>
        <pow />
        <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">e</id>
        <parens>
          <apply>
            <div />
            <apply>
              <mult />
              <apply>
                <scale />
                <real>2</real>
                <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">π</id>
              </apply>
              <imag symbol="i">1</imag>
            </apply>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
          </apply>
        </parens>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

<region id="ID0ENO4CB" actualWidth="93.923333333333346" actualHeight="54.702666332244874" align-x="0" align-y="-35.102666332244873" top="537.60000000000014" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="26">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <indexer />
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">ω</id>
        <id labels="*" xml:space="preserve">N</id>
      </apply>
      <apply>
        <pow />
        <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">e</id>
        <parens>
          <apply>
            <div />
            <apply>
              <mult />
              <apply>
                <scale />
                <real>2</real>
                <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve">π</id>
              </apply>
              <imag symbol="i">1</imag>
            </apply>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">N</id>
          </apply>
        </parens>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

<region id="ID0E2O4CB" actualWidth="290.08333333333337" actualHeight="50.000000000000007" align-x="0" align-y="-29.400000000000002" top="595.2" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="27">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function>
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">z</id>
        <boundVars>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">p</id>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">q</id>
        </boundVars>
      </function>
      <apply>
        <summation />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">k</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <summation />
            <lambda>
              <boundVars>
                <id xml:space="preserve">l</id>
              </boundVars>
              <parens>
                <apply>
                  <mult />
                  <apply>
                    <mult />
                    <apply>
                      <indexer />
                      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">A</id>
                      <sequence>
                        <id xml:space="preserve">k</id>
                        <id xml:space="preserve">l</id>
                      </sequence>
                    </apply>
                    <apply>
                      <pow />
                      <apply>
                        <indexer />
                        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">ω</id>
                        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
                      </apply>
                      <parens>
                        <apply>
                          <mult />
                          <apply>
                            <neg />
                            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">p</id>
                          </apply>
                          <id xml:space="preserve">k</id>
                        </apply>
                      </parens>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply>
                    <pow />
                    <apply>
                      <indexer />
                      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">ω</id>
                      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">N</id>
                    </apply>
                    <parens>
                      <apply>
                        <mult />
                        <apply>
                          <neg />
                          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">q</id>
                        </apply>
                        <id xml:space="preserve">l</id>
                      </apply>
                    </parens>
                  </apply>
                </apply>
              </parens>
            </lambda>
            <lowerBound>
              <real>0</real>
            </lowerBound>
            <upperBound>
              <apply>
                <minus />
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">N</id>
                <real>1</real>
              </apply>
            </upperBound>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <real>0</real>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <apply>
            <minus />
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
            <real>1</real>
          </apply>
        </upperBound>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

5. 使用上述定义求解特定频率元素并将其与函数 dft 的输出进行比较。

高斯 idft

idft 函数是 dft 的逆变换。它接受实数或复数矩阵作为其自变量，并返回一个维数相同的矩阵。

1. 证明函数 dft 的逆变换为该函数本身。

2. 使用先前定义的矩阵 A，然后证明 dft 函数的逆变换为该函数本身。

单击可复制此表达式

<region id="ID0E2W4CB" actualWidth="402.13000000000005" actualHeight="147.58666666666665" align-x="0" align-y="-83.38666666666667" top="1171.2000000000003" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="33">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">Iz</id>
      <eval>
        <apply>
          <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">idft</id>
          <apply>
            <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">dft</id>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">A</id>
          </apply>
        </apply>
        <unitOverride>
          <placeholder />
        </unitOverride>
      </eval>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="10" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,1" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

单击可复制此表达式

3. 使用 idft 的定义来计算 A 的任何元素。

<region id="ID0EEZ4CB" actualWidth="322.80333333333334" actualHeight="50.000000000000007" align-x="0" align-y="-29.400000000000002" top="1516.8000000000002" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="35">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function>
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">a</id>
        <boundVars>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">p</id>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">q</id>
        </boundVars>
      </function>
      <apply>
        <scale />
        <apply>
          <div />
          <real>1</real>
          <apply>
            <mult />
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">N</id>
          </apply>
        </apply>
        <apply>
          <summation />
          <lambda>
            <boundVars>
              <id xml:space="preserve">k</id>
            </boundVars>
            <apply>
              <summation />
              <lambda>
                <boundVars>
                  <id xml:space="preserve">l</id>
                </boundVars>
                <parens>
                  <apply>
                    <mult />
                    <apply>
                      <mult />
                      <apply>
                        <indexer />
                        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Z</id>
                        <sequence>
                          <id xml:space="preserve">k</id>
                          <id xml:space="preserve">l</id>
                        </sequence>
                      </apply>
                      <apply>
                        <pow />
                        <apply>
                          <indexer />
                          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">ω</id>
                          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
                        </apply>
                        <parens>
                          <apply>
                            <mult />
                            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">p</id>
                            <id xml:space="preserve">k</id>
                          </apply>
                        </parens>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply>
                      <pow />
                      <apply>
                        <indexer />
                        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">ω</id>
                        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">N</id>
                      </apply>
                      <parens>
                        <apply>
                          <mult />
                          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">q</id>
                          <id xml:space="preserve">l</id>
                        </apply>
                      </parens>
                    </apply>
                  </apply>
                </parens>
              </lambda>
              <lowerBound>
                <real>0</real>
              </lowerBound>
              <upperBound>
                <apply>
                  <minus />
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">N</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </upperBound>
            </apply>
          </lambda>
          <lowerBound>
            <real>0</real>
          </lowerBound>
          <upperBound>
            <apply>
              <minus />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
              <real>1</real>
            </apply>
          </upperBound>
        </apply>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

4. 使用上述定义求解特定频率元素并将其与函数 idft 输出中的相应元素进行比较。

相关主题

关于变换和滤波器函数

示例：矢量的 dft 和 idft

示例：关于复数函数的 DFT

这对您有帮助吗?