Non-convergence de l'évaluation numérique d'intégrales avec des limites infinies
Cette rubrique fournit une solution de contournement pour deux cas d'erreurs autres que de convergence lors de l'évaluation numérique des intégrales avec une ou deux limites d'intégration infinies.
Pour expliquer les deux cas, définissez une moyenne μ et un écart-type σ.
Cas I : intégrale avec une limite d'intégration infinie
Définissez le multiplicateur variable n sur 1, puis définissez la fonction g(x) en termes de la fonction
dnorm de densité de probabilité intégrée.
Lorsque n=1, l'évaluation de l'intégrale de g(x) sur la plage [0, ∞] ne renvoie pas d'erreur mais renvoie une très petite valeur.
Solution de contournement pour le cas I
Augmentez la valeur de n sur n=2 et recommencez l'évaluation de l'intégrale.
L'augmentation de la valeur de n pour n=2 génère une erreur car le calcul ne converge pas vers une solution.
Pour résoudre ce problème, définissez la variable T sur une valeur proche de la queue de g(x), puis divisez l'intégrale en deux : une qui couvre la plage [0, T] et l'autre qui couvre la plage [T, ∞].
L'intégrale divisée A3 renvoie une bonne réponse lorsque n=1 ou n=2. Tracez g(x) et ajoutez un marqueur vertical T pour voir à quel niveau il est proche de la queue de g(x).
Le tracé indique la variable T comme étant le marqueur vertical proche de la queue de g(x).
Cas II : Intégrale avec deux limites d'intégration infinies
Définissez le multiplicateur variable n sur 1, puis évaluez l'intégrale de g(x) au-dessus de la plage [-∞, ∞].
Lorsque n=1, l'évaluation de l'intégrale de g(x) sur la plage [-∞, ∞] ne renvoie aucune erreur, mais renvoie une très petite valeur.
Solution de contournement pour le Cas II
Pour résoudre ce problème, définissez les variables T1 & T2 sur des valeurs proches de la tête et de la queue de g(x), puis divisez cette intégrale en trois intégrales : l'une pour la plage de couverture [-∞, T1], l'autre couvrant la plage [T1, T2] et l'autre qui couvre la plage [T2, ∞].
L'intégrale divisée renvoie une bonne réponse lorsque n=1 ou n=2. Tracez g(x) et ajoutez des marqueurs verticaux T1 et T2 pour voir à quel niveau ils se rapprochent de la tête et de la queue de g(x).
Observations et conclusions
Tracez la fonction de densité de probabilité intégrée dnorm à l'aide de la même moyenne, mais avec deux valeurs différentes de l'écart-type.
Le tracé montre que :
• avec la valeur d'écart-type la plus petite, la majeure partie de la zone située sous la courbe est plus proche de la moyenne. Dans ce cas, le calcul numérique converge, mais renvoie la mauvaise réponse.
• avec la valeur de l'écart type la plus élevée, la majeure partie de la zone située sous la courbe est plus éloignée de la moyenne. Dans ce cas, le calcul numérique ne converge pas.
Dans les deux cas, la division de l'intégrale garantit que le calcul converge et renvoie la réponse correcte.
