例: 状態空間ソルバー

ソルバーstatespaceを使用して 1 次の微分方程式 (ODE) の解を状態空間に表示したものを求めます。

特に、調和振動方程式の右辺が 0 である場合の外部から力を加えない調和振動子の解を求めます。

この解には、過減衰、臨界減衰、不足減衰、および全状態フィードバックの 4 つのケースがあります。

過減衰の解

1. 過減衰の解を求める数式を次のように記述します。

2. 初期条件 (オブジェクトの質量、弾性定数、積分区間の始点と終点、点の数) を定義します。

3. 系の自然 (共振) 周波数を設定します。

4. 過減衰条件が存在することを検証します。

5. ODE を行列形式で記述します。

6. statespace 関数を次のように呼び出します。

7. 解をプロットします。

<region id="ID0ERV35" actualWidth="591.8" actualHeight="288" top="940.80000000000018" left="19.200000000000003" height="288" width="591.8" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="56">
          <traceStyle color="#FFED1D2F" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="457.4" height="230.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="33">
          <axisLine position="origin" positionticmark="1" legendWidth="89.78" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>12</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">sol1</id>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-0.5" end="2">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="89.78" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>6</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">sol1</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="57">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-0.5</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="58">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </secondTickValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

臨界減衰の解

1. 系の自然 (共振) 周波数を設定します。

2. 臨界減衰条件が存在することを検証します。

3. ODE を行列形式で記述します。

4. statespace 関数を次のように呼び出します。

5. 解をプロットします。

<region id="ID0ER435" actualWidth="590.8" actualHeight="288" top="1728.0000000000002" left="19.200000000000003" height="288" width="590.8" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="63">
          <traceStyle color="#FF068149" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="456.4" height="230.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="33">
          <axisLine position="origin" positionticmark="1" legendWidth="89.78" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>12</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">sol2</id>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-0.5" end="2">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="89.78" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>6</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">sol2</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="64">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-0.5</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="65">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="66">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">2</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

不足減衰の解

1. 系の自然 (共振) 周波数を設定します。

2. 不足減衰条件が存在することを検証します。

3. ODE を行列形式で記述します。

4. statespace 関数を次のように呼び出します。

5. 解をプロットします。

<region id="ID0ERF45" actualWidth="591.6000126600261" actualHeight="201.60000429153402" top="2592.0000000000005" left="19.200000000000003" height="201.60000429153402" width="591.6000126600261" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="71">
          <traceStyle color="#FF2E3192" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="457.200012660026" height="144.000004291534" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="20">
          <axisLine position="origin" positionticmark="1" legendWidth="89.78" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">sol3</id>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="72">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </startValue>
            <endValue resultRef="73">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">20</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-0.5" end="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="89.78" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>4</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">sol3</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="74">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-0.5</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="75">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="76">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">1</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

全状態フィードバックの解

1. 初期条件を設定します。

2. ODE を行列形式で記述します。

3. 追加の関数を定義します。

4. statespace 関数を呼び出します。

5. 解をプロットします。

<region id="ID0E6N45" actualWidth="591.600012660026" actualHeight="201.60000429153402" top="3801.6000000000004" left="76.800000000000011" height="201.60000429153402" width="591.600012660026" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="82">
          <traceStyle color="#FF2E3192" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="457.200012660026" height="144.000004291534" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="20">
          <axisLine position="origin" positionticmark="1" legendWidth="89.78" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">sol4</id>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="83">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </startValue>
            <endValue resultRef="84">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">20</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-0.5" end="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="89.78" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>4</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve" labels="VARIABLE" label-is-contextual="true">sol4</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="85">
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