GDGL-Gleichungslöser
Die gewöhnlichen Differentialgleichungen (GDGLs)
Gleichung 2.432 und
Gleichung 2.444, die die 1-FG-Verschiebung und -Rotation der Berandungen bzw. Volumina steuern, werden in
Creo Flow Analysis numerisch gelöst. Insbesondere werden zur Berechnung einer Bewegung und Verschiebung von Berandung und Volumen für die Neuvernetzung die folgenden Time-Marching-Schemata zur Integration in die GDGL-Gleichungen angenommen: explizite Gleichungslöser vom Typ Steif, Euler und Runge-Kutta.
Integration einer 1-FG-Translationsgleichung
Durch Substitution von
Gleichung 2.434,
Gleichung 2.435 und
Gleichung 2.436 in
Gleichung 2.432 und Gruppieren der expliziten Kraftterme in einem einzigen Term, kurz
, wird die 1-FG-Translationsgleichung der Bewegung wie folgt umgeformt:
Gleichung 2.455
Dabei ist der explizit berechnete Kraftterm
:
Gleichung 2.456
Bei gegebenen Anfangs- und Randbedingungen wird die Verschiebung des Volumenkörpers durch Integration von
Gleichung 2.455 unter Verwendung expliziter Zeit-Marching-Schemata erlangt. Über den Zeitschritt
lauten die allgemeinen Formeln wie folgt:
Gleichung 2.457
Gleichung 2.458
Dabei ergibt die Summierung der Gewichtungsfaktoren den Wert 1:
Gleichung 2.459
Mit der Auswahl von Gewichtungsfaktoren werden unterschiedliche Schemata abgeleitet. Beispielsweise folgen explizite Euler- und Runge-Kutta-Schemata:
• Expliziter Euler-Gleichungslöser (1. Ordnung)
Mit
und
ist das explizite Euler-Schema Folgendes:
Gleichung 2.460
Gleichung 2.461
• Expliziter Runge-Kutta-Gleichungslöser
Die Runge-Kutta-Gleichungslöser sind explizite Schemata 2. und 4. Ordnung wie folgt:
◦ Schema zweiter Ordnung
Gleichung 2.462
Gleichung 2.463
◦ Schema vierter Ordnung
Gleichung 2.464
Gleichung 2.465
Dabei gilt:
Gleichung 2.466
Gleichung 2.467
Gleichung 2.468
Gleichung 2.469
• Steifer Gleichungslöser (Explizit)
Zusätzlich zu den standardmäßigen Euler- und Runge-Kutta-Schemata hat Creo Flow Analysis einen steifen Gleichungslöser entwickelt, um die GDGL-Gleichung für die 1-FG-Translation zu integrieren. Das ist die Standardmethode für dynamische Bewegungen von Volumenkörpern.
Integration einer 1-FG-Rotationsgleichung
Wie bei der Translation wird durch Substitution von
Gleichung 2.446 und
Gleichung 2.447 in
Gleichung 2.444 und Gruppieren der expliziten Drehmomente in einem einzigen Term, kurz
, die 1-FG-Rotationsgleichung der Bewegung,
Gleichung 2.444 wie folgt umgeformt:
Gleichung 2.470
Dabei ist der explizit berechnete Drehmomentterm
:
Gleichung 2.471
Bei gegebenen Anfangs- und Randbedingungen wird der Rotationswinkel durch Integration von
Gleichung 2.470 unter Verwendung expliziter Zeit-Marching-Schemata erlangt. Über den Zeitschritt
lauten die allgemeinen Formeln wie folgt:
Gleichung 2.472
Gleichung 2.473
Dabei ergibt die Summierung der Gewichtungsfaktoren den Wert 1:
Gleichung 2.474
Mit der Auswahl von Gewichtungsfaktoren werden mühelos verschiedene numerische Schemata abgeleitet. Die expliziten Euler- und Runge-Kutta-Schemata sind wiederum unten angegeben:
• Expliziter Euler-Gleichungslöser (1. Ordnung)
Mit
und
ist das explizite Euler-Schema Folgendes:
Gleichung 2.475
Gleichung 2.476
• Expliziter Runge-Kutta-Gleichungslöser
Die Runge-Kutta-Gleichungslöser sind explizite Schemata 2. und 4. Ordnung, die nachstehend angegeben sind:
◦ Schema zweiter Ordnung
Gleichung 2.477
Gleichung 2.478
◦ Schema vierter Ordnung
Gleichung 2.479
Gleichung 2.480
Dabei gilt:
Gleichung 2.481
Gleichung 2.482
Gleichung 2.483
Gleichung 2.484
• Steifer Gleichungslöser (Explizit)
Zusätzlich zu den standardmäßigen Euler- und Runge-Kutta-Schemata hat
Creo Flow Analysis einen steifen Gleichungslöser entwickelt, um die
Gleichung 2.444 der GDGL für die 1-FG-Rotation zu integrieren. Das ist die Standardmethode für dynamische Bewegungen von Volumenkörpern.
