Уравнения свойств оболочки
В этом документе приведено очень краткое описание того, как механические свойства оболочки математически представлены в Creo Simulate. В этом документе представлена также терминология, используемая для описания свойств оболочки и результирующих оболочек в Creo Simulate.
Этот документ разделен на следующие разделы:
Тема
Обзор
Формулы, приведенные в этом документе, отражают фундаментальные соотношения между силами, моментами, деформациями, изменениями кривизны оболочки, а также свойствами оболочки и результатами. Эти формулы приводятся, чтобы однозначно определить соглашения, используемые для описания различных данных моделирования и результирующих данных для оболочек.
Задайте свойства, которые определяют механическое поведение многослойных оболочек в варианте многослойной жесткости, в диалоговом окне
Определение свойства оболочки (Shell Property Definition). Дополнительные сведения см. в разделе
Сведения о свойствах оболочки. В точке, для которой нужно получить результаты, необходимо определить следующие свойства, связанные с ориентацией материала:
• продольная жесткость оболочки;
• поперечная сдвиговая жесткость оболочки;
• продольно-изгибные связанные жесткости оболочки;
• изгибная жесткость оболочки;
• коэффициенты результирующих векторов тепловых моментов оболочки;
• коэффициент результирующей тепловой силы оболочки
• масса на единицу измерения площади;
• инерция вращения на единицу измерения площади.
Приведенные ниже количественные результаты можно наблюдать по отношению к ориентации материала в рассматриваемой точке или по отношению к системе координат. Дополнительные сведения см. в разделе
Сравнительные результаты.
• Поворот срединной поверхности оболочки вокруг осей X и Y
• Деформация срединной поверхности
• Изменение кривизны срединной поверхности оболочки
• Результирующий момент оболочки
• Результирующая сила оболочки
• Сила поперечного сдвига оболочки
• Напряжение
• Перемещение срединной поверхности оболочки.
Символы обозначения этих терминов см. в разделе
Список символов.
Эти формулы и их описания не следует считать учебником для анализа оболочек. Более подробная информация о моделировании многослойных или ортотропных оболочек содержится в работах следующих авторов: Jones (Джоунз) (1), Reddy (Редди) (2), Tsai (Тсаи) (3), Ugural (Угурал) (4) и др. Эти работы приведены в разделе
Библиография.
Цифры и уравнения, приведенные в этом разделе, относятся к плоским оболочкам или пластинам. Технические понятия для криволинейных оболочек приведены в общем виде, но математическое описание криволинейных оболочек является более сложным и потому не приводится.
Формулы для расчета свойств оболочки
Оболочка — это часть модели Creo Simulate, толщина которой много меньше по сравнению с ее шириной и длиной. С точки зрения эффективности расчетов предпочтительнее выполнять моделирование тонких областей структуры с помощью оболочек. Эта эффективность, в частности, обусловлена базовым предположением относительно поведения оболочек. Это означает, что механическое поведение оболочки можно аппроксимировать описанием механического поведения срединной поверхности этой оболочки.
Таким образом, перемещение оболочки может быть описано перемещением и поворотом ее срединной поверхности, деформация оболочки может быть описана деформациями и изменениями кривизны ее срединной поверхности, а равновесие оболочки может быть описано равновесием напряжений, интегрированных по толщине оболочки.
На приведенном ниже рисунке показана плоская прямоугольная оболочка, кромки которой параллельны осям X и Y декартовой системы координат. Плоскость XY этой системы координат находится посредине между верхней и нижней поверхностями оболочки, т. е., срединная поверхность оболочки находится на z=0. Толщина оболочки равна t, следовательно, ее верхняя поверхность находится на z = t/2, а нижняя — на z = –t/2, как показано на следующем рисунке:
Как указывалось выше, предполагается, что перемещение любой точки (x, y, z) в оболочке можно выразить через перемещение и поворот точки (x, y, 0) на срединной поверхности этой оболочки. В частности, предполагается, что:
где:
• 
— составляющие перемещения по осям x, y и z, соответственно;
• 
— составляющие перемещения срединной поверхности;
• 
— (малые) повороты срединной поверхности вокруг осей x и y, соответственно.
Аналогично составляющие деформации
и
произвольной точки (x,y,z) можно выразить через деформации срединной поверхности (или мембраны) (
) и изменения кривизны (
) как:
Следует отметить, что выражение (A.2) содержит составляющие тензора деформации сдвига
и
, а не технические составляющие деформации сдвига, которые равны удвоенным значениям составляющих тензора деформации сдвига.
Для плоских оболочек составляющие тензора деформации сдвига равны:
и
Результирующие силы оболочки (
), результирующие моменты оболочки (
) и силы поперечного сдвига оболочки (
) находятся интегрированием составляющих напряжения
по толщине оболочки. Результирующие силы оболочки имеют вид:
Результирующие моменты оболочки имеют вид:
Силы поперечного сдвига оболочки имеют вид:
На рисунке ниже показаны определения знака, принятые для результирующих сил и моментов, а также для сил поперечного сдвига. Следует отметить, что положительный момент
создает положительную деформацию
в верхней половине оболочки (z > 0) и отрицательную деформацию в нижней половине оболочки (z < 0).
Зависимости между результирующими оболочки, деформациями срединной поверхности и изменениями кривизны имеют вид:
и:
В выражении (A.6) величины
(где i,j = 1, 2, 6) называются продольной жесткостью, величины
называются изгибной жесткостью, величины
называются продольно-изгибной связывающей жесткостью, а величины
(где k,l = 4,5) — поперечной сдвиговой жесткостью. Величины
и
— это деформации поперечного сдвига на срединной поверхности. Величины
и
— это результирующие тепловые силы и моменты соответственно.
Результирующая жесткость оболочки и тепловая результирующая, подставленные в выражения (A.6) и (A.7), определяются интегрированием свойств материала оболочки по толщине этой оболочки. Жесткость при растяжении, изгибе и растягивающем изгибе имеет вид:
и:
и:
где
— пониженная жесткость материала.
Жесткость при поперечном сдвиге имеет вид:
где:
• 
— (не пониженная) жесткость материала, а также
• 
— коэффициенты коррекции сдвига, которые для однородной оболочки часто выбирают равными
.
Следует отметить, что если материал оболочки распределен симметрично относительно срединной поверхности, то интеграл в выражении (A.9) стремится к нулю, и продольно-изгибные связанные жесткости
тождественно равны нулю.
Результирующие тепловых сил и моментов имеют вид:
и:
где:
• 
— коэффициенты теплового расширения материала;
• 
— изменение температуры из ненапряженного состояния.
Если изменение температуры постоянно по ширине оболочки, то
в выражениях (A.12) и (A.13) может быть опущено в интеграле, что приводит к выражениям (A.14) и (A.15):
где
называются результирующими тепловыми коэффициентами векторов оболочки и имеют вид:
Свойства массы для оболочек также получают интегрированием данных о свойствах материала по толщине оболочки. Масса на единицу измерения площади
имеет вид:
где
— плотность материала.
Инерция вращения на единицу измерения площади
имеет вид:
Список обозначений
В таблице ниже приведены обозначения, используемые в этом документе:
Обозначение | Определение |
| Коэффициент теплового расширения |
 (i,j = 1,2,6) | Продольная жесткость оболочки |
 (k,l = 4,5) | Поперечная сдвиговая жесткость оболочки |
 (i,j = 1,2,6) | Сопряженная продольно-изгибная жесткость оболочки |
| Поворот срединной поверхности оболочки вокруг осей X и Y |
 (k,l = 4,5) | Жесткость материала |
 (i,j = 1,2,6) | Изгибная жесткость оболочки |
| Изменение температуры |
| Деформация |
| Деформация срединной поверхности (или мембраны) |
| Изменение кривизны срединной поверхности оболочки |
 (k,l = 4,5) | Коэффициенты коррекции сдвига |
| Результирующий момент оболочки |
| Результирующий тепловой момент оболочки |
| Коэффициент результирующего теплового момента оболочки |
| Результирующая сила оболочки |
| Результирующая тепловая сила оболочки |
| Коэффициент результирующей тепловой силы оболочки |
| Сила поперечного сдвига оболочки |
 (i,j = 1,2,6) | Пониженная жесткость материала |
| Масса на единицу измерения площади |
| Инерция вращения на единицу измерения площади. |
| Напряжение |
t | Толщина оболочки |
| Перемещение |
| Перемещение срединной поверхности оболочки |
x, y | Координаты срединной поверхности |
z | Координата, перпендикулярная срединной поверхности оболочки |
Библиография
1. Jones, Robert M. Mechanics of Composite Materials. (Механика композитных материалов) (на английском языке) Washington, DC: Scripta Book Company, 1975.
2. Reddy, J.N. Energy and Variational Method in Applied Mechanics, New York: John Wiley & Sons, 1984.
3. Tsai, S. W. and H. T. Hahn Introduction to Composite Materials, Westport, CT: Technomic Publishing Co., 1980.
4. Ugural, A. C. Stresses in Plates and Shells, New York: McGraw-Hill Book Company, 1981.
