Собственные векторы и собственные значения
• eigenvals(M) — возвращает вектор, элементы которого являются собственными значениями матрицы M.
• eigenvec(M, z) — возвращает одиночный нормированный собственный вектор, связанный с собственным значением z матрицы M. Собственный вектор приведен к единице длины. Функция eigenvec использует алгоритм обратной итерации.
• eigenvecs(M, ["L"]) — возвращает матрицу, содержащую все нормированные собственные векторы матрицы M. Столбец n результирующей матрицы является собственным вектором, соответствующим собственному значению c номером n, возвращаемому функцией eigenvals. По умолчанию возвращается правый собственный вектор. Функция eigenvecs также может вернуть и левый собственный вектор, удовлетворяющий условию vH · M = z · vH, где H означает транспонирование.
• genvals(M, N) — возвращает вектор вычисленных собственных значений, vi, каждое из которых удовлетворяет обобщенной проблеме собственных значений M · x = vi · N · x для связанных собственных векторов xi.
• genvecs(M, N, ["L"]) — возвращает матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям в векторе v, возвращаемом функцией genvals. Столбец i этой матрицы является собственным вектором x, удовлетворяющим обобщенной проблеме собственных значений.
• tr(M) — возвращает след матрицы M, т. е. сумму элементов на диагонали матрицы M. Это значение равняется сумме собственных значений.
Аргументы
• M, N - квадратные матрицы равного размера, содержащие вещественные или комплексные числа.
• "L" (необязателен) — строка. "L" означает левый собственный вектор, а "R" — правый. По умолчанию используется значение "R".
• z — собственное значение матрицы M.
Дополнительные сведения
• Во всех этих функциях используются библиотеки Basic Linear Algebra Subprograms (базовые подпрограммы линейной алгебры, BLAS) и Linear Algebra Package (пакет линейной алгебры, LAPACK) компании Intel.
• Чтобы проверить, является ли матрица вырожденной или близкой к ней, используйте число обусловленности.
• Функция eigenvecs использует разные алгоритмы для симметричных матриц и для матриц общего вида. PTC Mathcad может возвращать непредсказуемые результаты, если к несимметричной матрице будут применены методы для симметричных матриц. Например, значение π не является точным, а следовательно sin(π) не равняется точно нулю, что может привести к нарушению симметрии матрицы.
• Результаты, возвращенные eigenvals и genvals, сортируются в порядке убывания от самого большого до самого малого. Этот порядок сортировки применяется только к вещественным значениям. Если возвращенные значения являются чисто мнимыми, сортировка не имеет смысла.
• Результаты функций eigenvec и eigenvecs могут не совпадать. Для заданного собственного значения существует бесконечное количество собственных векторов, поэтому результирующий вектор зависит от использованного алгоритма. Каждый собственный вектор для конкретного собственного значения является произведением остальных векторов.