Esempio: fattorizzazione di Cholesky di matrici reali

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Utilizzare la funzione Cholesky per eseguire la fattorizzazione di Cholesky di una matrice reale.

Per evitare corrispondenze errate a livello logico quando si eseguono confronti booleani, attivare l'opzione Uguaglianza approssimativa nell'elenco a discesa Opzioni calcolo.

1. Definire una matrice quadrata reale M definita positiva.

2. Applicare la funzione eigenvals per garantire che la matrice sia definita positiva.

3. Applicare la funzione rank per garantire che M sia una matrice con rango completo.

4. Impostare gli argomenti p e u per il controllo dell'attivazione e della disattivazione del pivot e della fattorizzazione inferiore/superiore.

5. Utilizzare la funzione Cholesky per eseguire la fattorizzazione di default della matrice M, con pivot e fattorizzazione inferiore.

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La funzione di default Cholesky(M) equivale a Cholesky(M,1,0).

<region id="ID0ESQIFB" actualWidth="284.50666666666672" actualHeight="27.791200000000003" top="844.80000000000018" left="76.800000000000011" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="80">
 <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <apply>
 <equal />
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 </apply>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id xml:space="preserve">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </math>
</region>

6. Mostrare che P10T x M x P10 = L10 x L10T.

<region id="ID0ERTIFB" actualWidth="165.17000000000002" actualHeight="62.800000000000004" top="940.80000000000018" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="82"> <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">P10</id> <eval> <apply> <indexer /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">m10</id> <real>0</real> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </define> <resultFormat> <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" /> </resultFormat> </math> </region>	<region id="ID0E6TIFB" actualWidth="260.32666666666665" actualHeight="62.800000000000004" top="1017.6000000000001" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="84"> <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">L10</id> <eval> <apply> <indexer /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">m10</id> <real>1</real> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </define> <resultFormat> <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true"> <nestedMatrixFormats> <nestedMatrixFormat size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" position="0,0" /> </nestedMatrixFormats> </matrix> </resultFormat> </math> </region>
<region id="ID0ESUIFB" actualWidth="202.72666666666666" actualHeight="62.800000000000004" top="1094.4" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="86"> <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply> <mult /> <apply> <mult /> <apply> <transpose /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">P10</id> </apply> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id> </apply> <id xml:space="preserve">P10</id> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </math> </region>	<region id="ID0EAVIFB" actualWidth="177.81666666666666" actualHeight="62.800000000000004" top="1094.4" left="307.20000000000005" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="88"> <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply> <mult /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">L10</id> <apply> <transpose /> <id xml:space="preserve">L10</id> </apply> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </math> </region>
<region id="ID0ETVIFB" actualWidth="218.39000000000002" actualHeight="27.752000000000002" top="1152.0000000000002" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="90"> <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply> <equal /> <apply> <mult /> <apply> <mult /> <apply> <transpose /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">P10</id> </apply> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id> </apply> <id xml:space="preserve">P10</id> </apply> <apply> <mult /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">L10</id> <apply> <transpose /> <id xml:space="preserve">L10</id> </apply> </apply> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </math> </region>

La relazione è logicamente vera.

7. Utilizzare la funzione Cholesky per eseguire la fattorizzazione della matrice M, senza pivot e fattorizzazione inferiore (impostazione di default).

<region id="ID0EYXIFB" actualWidth="344.06666666666672" actualHeight="62.800000000000004" top="1305.6000000000001" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="92">
 <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">m00</id>
 <eval>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </define>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

La scelta di non specificare l'argomento u, come in Cholesky(M, 0), equivale a impostarlo su 0, come in Cholesky(M, 0, 0).

<region id="ID0ERZIFB" actualWidth="307.08666666666676" actualHeight="27.791200000000003" top="1401.6000000000001" left="76.800000000000011" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="94">
 <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <apply>
 <equal />
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id xml:space="preserve">M</id>
 <id xml:space="preserve">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

La matrice inferiore restituita L10, con pivot attivato, NON è uguale alla matrice inferiore restituita L00, con pivot disattivato.

La relazione è logicamente falsa.

8. Mostrare che M = L00 x L00T.

La relazione è logicamente vera.

9. Utilizzare la funzione Cholesky per eseguire la fattorizzazione della matrice M, con pivot e fattorizzazione superiore.

<region id="ID0EUCJFB" actualWidth="353.51333333333338" actualHeight="118.60000000000001" top="1881.6000000000004" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="106">
 <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">m11</id>
 <eval>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </define>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

10. Mostrare che P11T x M x P11 = U11T x U11.

La relazione è logicamente vera.

11. Utilizzare la funzione Cholesky per eseguire la fattorizzazione della matrice M, senza pivot e fattorizzazione superiore.

<region id="ID0E4JJFB" actualWidth="366.78000000000003" actualHeight="62.800000000000004" top="2304.0000000000005" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="118">
 <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">m01</id>
 <eval>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </define>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

12. Mostrare che M = U01T x U01.

La relazione è logicamente vera.

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