Esempio: operatore di gradiente
• Definire una funzione f:
Utilizzare l'operatore di gradiente per ricevere un vettore di derivate parziali per la funzione f:
• Definire una funzione vettoriale e calcolare il gradiente della funzione f per il vettore x.
In questo esempio, ORIGIN, che imposta l'indice d'inizio per tutti gli array, è impostato su 0.
La variabile con l'indice maggiore in f è x2. Mathcad presuppone che siano presenti tre variabili: x0, x1 e x2. Il risultato è un vettore di gradiente di tre valori contenenti le derivate parziali di queste variabili. Se la variabile x0 o x1 non viene visualizzata nella funzione f, Mathcad restituisce comunque un vettore di tre valori, ma le voci corrispondenti alle variabili mancanti sono impostate su 0.
Per l'indice maggiore visualizzato nella funzione f, n, Mathcad presuppone le variabili n + 1, x0, x1, … xn e restituisce un vettore di lunghezza n + 1.
• Se si definisce la variabile x numericamente, è possibile valutare il gradiente con il segno Uguale =. Mathcad valuta il gradiente in corrispondenza dei valori in x e restituisce un vettore di numeri, che rappresenta il gradiente in corrispondenza del punto x. La lunghezza di x deve essere maggiore dell'indice maggiore visualizzato in f e Mathcad restituisce un gradiente con voci di lunghezza (x).
Nell'esempio riportato di seguito, x0 e x1 sono le uniche variabili che appaiono nell'espressione, Mathcad considera le derivate parziali rispetto a x0 e x1, quindi restituisce un vettore di due valori.
Tuttavia, se si definisce x come vettore di tre elementi, Mathcad presuppone la presenza di una variabile aggiuntiva, x2, che non viene visualizzata nell'espressione. Il risultato è un vettore di tre elementi.
Utilizzo dell'operatore di gradiente con funzione genfit
L'operatore di gradiente è particolarmente utile per impostare gli argomenti della funzione genfit, che adatta una funzione generale non lineare a un insieme di dati.
• Utilizzare i dati nella tabella riportata di seguito.
• La prima colonna contiene i valori x dei dati, la seconda colonna i valori y.
• Modellare i dati in base a una funzione della seguente forma:
In questo caso, a1 a2 e a3 sono parametri sconosciuti contenuti nel vettore a
È possibile modellare i dati chiamando la funzione genfit come segue:
In questa espressione
◦ X e Y sono vettori contenenti i valori x e y dei dati.
◦ guess è un vettore di valori ipotizzati iniziali per i parametri.
◦ F è un vettore il cui primo elemento è la funzione di modello f(x, a) e le cui voci rimanenti sono le derivate parziali di f rispetto ai parametri sconosciuti.
• Creare il vettore F utilizzando l'operatore di gradiente e la funzione stack.
• La funzione stack posiziona la funzione di modello f sopra il vettore di derivate parziali create dall'operatore di gradiente.
• Successivamente, creare un vettore ipotizzato per i parametri.
• Applicare genfit come indicato di seguito.
• I parametri con best fit sono:
