No convergencia de evaluación numérica de integrales con límites infinitos
En este tema se proporciona una solución alternativa para dos casos de errores de no convergencia al evaluar numéricamente integrales con uno o dos límites de integración infinitos.
Para explicar los dos casos, defina una media μ y una desviación estándar σ.
Caso I: integral con un límite de integración infinita
Defina la variable multiplicadora n en 1 y, a continuación, defina la función g(x) en términos de la función de densidad de probabilidad integrada dnorm.
Cuando n=1, la evaluación de la integral de g(x) por encima del rango [0, ∞] no devuelve ningún error, pero devuelve un valor muy pequeño.
Solución alternativa para el caso I
Aumente el valor de n a n=2 y vuelva a evaluar la integral.
Si se aumenta el valor de n a n=2 se producirá un error porque el cálculo no converge en una solución.
Como solución alternativa, defina la variable T en un valor cercano a la cola de g(x) y, a continuación, divida la integral única en dos: una que cubra el rango [0, T] y otra que cubra el rango [T, ∞].
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La integral dividida A3 devuelve una buena respuesta cuando n=1 o n=2. Trace g(x) y añada el marcador vertical T para ver la proximidad a la cola de g(x).
El gráfico muestra la variable T como marcador vertical cerca de la cola de g (x).
Caso II: integral con dos límites de integración infinita
Defina la variable multiplicadora n en 1 y, a continuación, evalúe la integral de g(x) en el rango [-∞, ∞].
Cuando n=1, la evaluación de la integral de g(x) sobre el rango [-∞, ∞] no devuelve ningún error, pero devuelve un valor muy pequeño.
Solución alternativa para el caso II
Como solución alternativa, defina las variables T1 y T2 en valores cercanos a la cabeza y la cola de g(x) y, a continuación, divida la integral única en tres integrales: uno para abarcar el rango [-∞, T1], otro para abarcar el rango [T1, T2] y otro para abarcar el rango [T2, ∞].
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La integral dividida devuelve una buena respuesta cuando n=1 o n=2. Trace g(x) y añada marcadores verticales T1 y T2 para ver la proximidad a la cabeza y la cola de g(x).
Observaciones y conclusiones
Trace la función de densidad de probabilidad integrada dnorm utilizando la misma media, pero dos valores diferentes de desviación estándar.
El gráfico muestra que:
• el valor de desviación estándar inferior hace que la masa del área debajo de la curva se acerque a la media. En este caso, el cálculo numérico converge pero devuelve la respuesta incorrecta.
• Un valor de desviación estándar mayor hace que la masa del área debajo de la curva sobrepase la media. En este caso, el cálculo numérico no puede converger.
En ambos casos, la división de la integral garantiza que el cálculo converge y devuelve la respuesta correcta.