範例：實數矩陣的 Cholesky 因式分解

函數 > 向量與矩陣 > 矩陣因式分解 > 範例：實數矩陣的 Cholesky 因式分解

使用 Cholesky 函數執行實數矩陣的 Cholesky 因式分解。

為避免在執行布林比較時發生邏輯不符的情況，請啟用「計算選項」下拉式清單中的「近似等式」。

1. 定義實數的正定方形矩陣 M。

2. 套用 eigenvals 函數，以確保矩陣為定正數。

3. 套用 rank 函數，以確保 M 為全秩矩陣。

4. 設定引數 p 與 u，以控制樞軸及下/上因式分解的啟用/停用。

5. 使用 Cholesky 函數，搭配樞軸與下因式分解，執行矩陣 M 的預設因式分解。

預設函數 Cholesky(M) 等同於 Cholesky(M,1,0)。

<region id="ID0EB4ZEB" actualWidth="284.50666666666672" actualHeight="27.791200000000003" top="844.80000000000018" left="76.800000000000011" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="80">
 <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <apply>
 <equal />
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 </apply>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id xml:space="preserve">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </math>
</region>

6. 顯示 P10T x M x P10 = L10 x L10T。

<region id="ID0EAA1EB" actualWidth="165.17000000000002" actualHeight="62.800000000000004" top="940.80000000000018" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="82"> <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">P10</id> <eval> <apply> <indexer /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">m10</id> <real>0</real> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </define> <resultFormat> <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" /> </resultFormat> </math> </region>	<region id="ID0EOA1EB" actualWidth="260.32666666666665" actualHeight="62.800000000000004" top="1017.6000000000001" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="84"> <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">L10</id> <eval> <apply> <indexer /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">m10</id> <real>1</real> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </define> <resultFormat> <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true"> <nestedMatrixFormats> <nestedMatrixFormat size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" position="0,0" /> </nestedMatrixFormats> </matrix> </resultFormat> </math> </region>
<region id="ID0EBB1EB" actualWidth="202.72666666666666" actualHeight="62.800000000000004" top="1094.4" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="86"> <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply> <mult /> <apply> <mult /> <apply> <transpose /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">P10</id> </apply> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id> </apply> <id xml:space="preserve">P10</id> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </math> </region>	<region id="ID0EPB1EB" actualWidth="177.81666666666666" actualHeight="62.800000000000004" top="1094.4" left="307.20000000000005" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="88"> <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply> <mult /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">L10</id> <apply> <transpose /> <id xml:space="preserve">L10</id> </apply> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </math> </region>
<region id="ID0ECC1EB" actualWidth="218.39000000000002" actualHeight="27.752000000000002" top="1152.0000000000002" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="90"> <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply> <equal /> <apply> <mult /> <apply> <mult /> <apply> <transpose /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">P10</id> </apply> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id> </apply> <id xml:space="preserve">P10</id> </apply> <apply> <mult /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">L10</id> <apply> <transpose /> <id xml:space="preserve">L10</id> </apply> </apply> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </math> </region>

此關係在邏輯上為真。

7. 使用 Cholesky 函數，搭配樞軸與下因式分解 (預設)，執行矩陣 M 的因式分解。

<region id="ID0EHE1EB" actualWidth="344.06666666666672" actualHeight="62.800000000000004" top="1305.6000000000001" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="92">
 <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">m00</id>
 <eval>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </define>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

不指定引數 u，因為在 Cholesky(M, 0) 中，其等同於在 Cholesky(M, 0, 0) 中將其設為 0。

<region id="ID0EAG1EB" actualWidth="307.08666666666676" actualHeight="27.791200000000003" top="1401.6000000000001" left="76.800000000000011" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="94">
 <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <apply>
 <equal />
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id xml:space="preserve">M</id>
 <id xml:space="preserve">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

啟用樞軸時所傳回的下矩陣 L10，不等於停用樞軸時所傳回的下矩陣 L00。

此關係在邏輯上為假。

8. 顯示 M = L00 x L00T。

此關係在邏輯上為真。

9. 使用 Cholesky 函數，搭配樞軸與上因式分解，執行矩陣 M 的因式分解。

<region id="ID0EDP1EB" actualWidth="353.51333333333338" actualHeight="118.60000000000001" top="1881.6000000000004" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="106">
 <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">m11</id>
 <eval>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </define>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

10. 顯示 P11T x M x P11 = U11T x U11。

此關係在邏輯上為真。

11. 使用 Cholesky 函數，搭配無樞軸與上因式分解，執行矩陣 M 的因式分解。

<region id="ID0EMW1EB" actualWidth="366.78000000000003" actualHeight="62.800000000000004" top="2304.0000000000005" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="118">
 <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">m01</id>
 <eval>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </define>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

12. 顯示 M = U01T x U01。

此關係在邏輯上為真。

相關主題

關於矩陣因式分解函數

這是否有幫助?