範例：複數矩陣的 Cholesky 因式分解

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使用 Cholesky 函數執行複數 Hermitian 矩陣的 Cholesky 因式分解。

為避免在執行布林比較時發生邏輯不符的情況，請啟用「計算選項」下拉式清單中的「近似等式」。

1. 定義複數 Hermitian 的定方形矩陣 M。

2. 套用 eigenvals 函數，以確保矩陣為正定矩陣。

3. 設定引數 p 與 u，以控制樞軸及下/上因式分解的啟用/停用。

4. 使用 Cholesky 函數，搭配樞軸與下因式分解，執行矩陣 M 的預設因式分解。

預設函數 Cholesky(M) 等同於 Cholesky(M,1,0)

<region id="ID0EFH3EB" actualWidth="284.50666666666672" actualHeight="27.791200000000003" top="729.60000000000014" left="76.800000000000011" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="76">
 <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <apply>
 <equal />
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 </apply>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id xml:space="preserve">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </math>
</region>

5. 顯示 P10T x M x P10 = L10 x conj(L10T)。

<region id="ID0EFK3EB" actualWidth="165.17000000000002" actualHeight="62.800000000000004" top="825.60000000000014" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="78"> <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">P10</id> <eval> <apply> <indexer /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">m10</id> <real>0</real> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </define> <resultFormat> <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" /> </resultFormat> </math> </region>	<region id="ID0ETK3EB" actualWidth="371.56" actualHeight="62.800000000000004" top="902.40000000000009" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="80"> <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">L10</id> <eval> <apply> <indexer /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">m10</id> <real>1</real> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </define> <resultFormat> <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true"> <nestedMatrixFormats> <nestedMatrixFormat size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" position="0,0" /> </nestedMatrixFormats> </matrix> </resultFormat> </math> </region>
<region id="ID0EGL3EB" actualWidth="286.33333333333331" actualHeight="62.800000000000004" top="979.20000000000016" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="82"> <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply> <mult /> <apply> <mult /> <apply> <transpose /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">P10</id> </apply> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id> </apply> <id xml:space="preserve">P10</id> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </math> </region>	<region id="ID0EUL3EB" actualWidth="273.75666666666666" actualHeight="62.800000000000004" top="1056.0000000000002" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="84"> <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply> <mult /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">L10</id> <apply> <conjugate /> <parens> <apply> <transpose /> <id xml:space="preserve">L10</id> </apply> </parens> </apply> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </math> </region>
<region id="ID0EHM3EB" actualWidth="230.72333333333333" actualHeight="31.752000000000002" top="1113.6000000000001" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50"> <math resultRef="86"> <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50"> <apply> <equal /> <apply> <mult /> <apply> <mult /> <apply> <transpose /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">P10</id> </apply> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id> </apply> <id xml:space="preserve">P10</id> </apply> <apply> <mult /> <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">L10</id> <apply> <conjugate /> <parens> <apply> <transpose /> <id xml:space="preserve">L10</id> </apply> </parens> </apply> </apply> </apply> <unitOverride> <placeholder /> </unitOverride> </eval> </math> </region>

此關係在邏輯上為真。

6. 使用 Cholesky 函數，搭配樞軸與下因式分解 (預設)，執行矩陣 M 的因式分解。

<region id="ID0EMO3EB" actualWidth="458.07000000000011" actualHeight="62.800000000000004" top="1248.0000000000002" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="88">
 <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">m00</id>
 <eval>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </define>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

不指定引數 u，因為在 Cholesky(M, 0) 中，其等同於在 Cholesky(M, 0, 0) 中將其設為 0。

<region id="ID0EFQ3EB" actualWidth="307.08666666666676" actualHeight="27.791200000000003" top="1344.0000000000002" left="76.800000000000011" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="90">
 <eval xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <apply>
 <equal />
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id xml:space="preserve">M</id>
 <id xml:space="preserve">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

啟用樞軸時所傳回的下矩陣 L10，不等於停用樞軸時所傳回的下矩陣 L00。

此關係在邏輯上為假。

7. 顯示 M = L00 x conj(L00T)。

此關係在邏輯上為真。

8. 使用 Cholesky 函數，搭配樞軸與上因式分解，執行矩陣 M 的因式分解。

<region id="ID0EJZ3EB" actualWidth="452.76666666666671" actualHeight="118.60000000000001" top="1939.2000000000003" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="102">
 <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">m11</id>
 <eval>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </define>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

9. 顯示 P11T x M x P11 = conj(U11T) x U11。

此關係在邏輯上為真。

10. 使用 Cholesky 函數，搭配無樞軸與上因式分解，執行矩陣 M 的因式分解。

<region id="ID0ESA4EB" actualWidth="478.01333333333338" actualHeight="62.800000000000004" top="2457.6000000000004" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
 <math resultRef="114">
 <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">m01</id>
 <eval>
 <apply>
 <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Cholesky</id>
 <sequence>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">M</id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 p<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">0</Subscript>
 </id>
 <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">
 u<Subscript xmlns="clr-namespace:Ptc.Wpf;assembly=Ptc.Core">1</Subscript>
 </id>
 </sequence>
 </apply>
 <unitOverride>
 <placeholder />
 </unitOverride>
 </eval>
 </define>
 <resultFormat>
 <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="true" />
 </resultFormat>
 </math>
</region>

11. 顯示 M = conj(U01T) x U01。

此關係在邏輯上為真。

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