例: 連立 1 階常微分方程式の求解

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例: 連立 1 階常微分方程式の求解

ソルブブロックとodesolve関数を使用して連立 1 階常微分方程式を解きます。

1. 解の区間の端点を定義します。

2. 導関数と 1 組の初期条件を使用して問題を定義します。

<region id="ID0ECWY5" top="249.6" left="28.8" width="485.073333333333" height="448.762999962962" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <solveblock>
    <regions>
      <region id="" top="38.4" left="19.2" solve-block-category="constraint">
        <math disable-calc="false">
          <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal />
            <apply>
              <derivative />
              <lambda>
                <boundVars>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </boundVars>
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y0</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
              </lambda>
              <degree>
                <placeholder />
              </degree>
            </apply>
            <apply>
              <plus />
              <apply>
                <mult />
                <real>-8</real>
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y0</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
              </apply>
              <apply>
                <mult />
                <real>8</real>
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y1</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="96" left="19.2" solve-block-category="constraint">
        <math disable-calc="false">
          <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal />
            <apply>
              <id xml:space="preserve">y0</id>
              <real>0</real>
            </apply>
            <real>-1</real>
          </apply>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="153.6" left="19.2" solve-block-category="constraint">
        <math disable-calc="false">
          <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal />
            <apply>
              <derivative />
              <lambda>
                <boundVars>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </boundVars>
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y1</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
              </lambda>
              <degree>
                <placeholder />
              </degree>
            </apply>
            <apply>
              <minus />
              <apply>
                <plus />
                <apply>
                  <mult />
                  <real>30</real>
                  <apply>
                    <id xml:space="preserve">y0</id>
                    <id xml:space="preserve">u</id>
                  </apply>
                </apply>
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y1</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
              </apply>
              <apply>
                <mult />
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y0</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y2</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="211.2" left="19.2" solve-block-category="constraint">
        <math disable-calc="false">
          <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal />
            <apply>
              <id xml:space="preserve">y1</id>
              <real>0</real>
            </apply>
            <real>0</real>
          </apply>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="268.8" left="19.2" solve-block-category="constraint">
        <math disable-calc="false">
          <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal />
            <apply>
              <derivative />
              <lambda>
                <boundVars>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </boundVars>
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y2</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
              </lambda>
              <degree>
                <placeholder />
              </degree>
            </apply>
            <apply>
              <minus />
              <apply>
                <mult />
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y0</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y1</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
              </apply>
              <apply>
                <mult />
                <apply>
                  <div />
                  <real>8</real>
                  <real>3</real>
                </apply>
                <apply>
                  <id xml:space="preserve">y2</id>
                  <id xml:space="preserve">u</id>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="316.800012" left="19.2000000000001" solve-block-category="constraint">
        <math disable-calc="false">
          <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal />
            <apply>
              <id xml:space="preserve">y2</id>
              <real>0</real>
            </apply>
            <real>1</real>
          </apply>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="403.200037" left="19.2" solve-block-category="solver">
        <math disable-calc="false">
          <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <matrix rows="3" cols="1">
              <id label="Variable" xml:space="preserve">f</id>
              <id label="Variable" xml:space="preserve">g</id>
              <id label="Variable" xml:space="preserve">h</id>
            </matrix>
            <apply>
              <id label="Keyword" xml:space="preserve">Odesolve</id>
              <sequence>
                <matrix rows="3" cols="1">
                  <apply>
                    <id xml:space="preserve">y0</id>
                    <id xml:space="preserve">u</id>
                  </apply>
                  <apply>
                    <id xml:space="preserve">y1</id>
                    <id xml:space="preserve">u</id>
                  </apply>
                  <apply>
                    <id xml:space="preserve">y2</id>
                    <id xml:space="preserve">u</id>
                  </apply>
                </matrix>
                <id label="Variable" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">T1</id>
                <apply>
                  <mult />
                  <real>1</real>
                  <apply>
                    <pow />
                    <real>10</real>
                    <real>3</real>
                  </apply>
                </apply>
              </sequence>
            </apply>
          </define>
        </math>
      </region>
    </regions>
  </solveblock>
</region>

3. 1 区間について解をプロットします。

<region id="ID0EAYY5" top="873.6" left="9.6" width="608.800014591217" height="249.600005435944" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot origin-positioning="true" background-type="white" show-axis-expressions="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="14">
          <traceStyle color="#FFFF0000" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="15">
          <traceStyle color="#FF008000" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="16">
          <traceStyle color="#FF0000FF" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="10">
          <axisLine position="origin" positionticmark="4" legendWidth="67.3866666666667" />
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            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xml:space="preserve" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">z1</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="17">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </startValue>
            <endValue resultRef="18">
              <id xml:space="preserve" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">T1</id>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-40" end="60">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="98.1933333333333" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve">f</id>
                  <id xml:space="preserve">z1</id>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve">g</id>
                  <id xml:space="preserve">z1</id>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve">h</id>
                  <id xml:space="preserve">z1</id>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="19">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-40</real>
            </startValue>
            <endValue resultRef="20">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">60</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

Rkadapt 関数の使用

Rkadapt関数を使用して同じ連立微分方程式を解きます。

1. 解の任意の点 (t,Y) における導関数の値のベクトルを定める関数を定義します。

2. ODE ソルバ用の次の追加の引数を定義します。

a. 独立変数の初期値

b. 関数の初期値のベクトル

c. [t0, t1] における解の値の数

3. Rkadapt 関数を使用して解の行列を求めます。

rkfixed、Bulstoer関数またはRadau関数を使用することもできます。

4. 独立変数の値を抽出します。

5. 1 つ目の解の関数の値を抽出します。

6. 2 つ目の解の関数の値を抽出します。

7. 3 つ目の解の関数の値を抽出します。

8. 3 つの解をプロットします。

<region id="ID0EILZ5" top="2246.4" left="28.8" width="589.800012588501" height="249.600005435944" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot origin-positioning="true" background-type="white" show-axis-expressions="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="21">
          <traceStyle color="#FFFF0000" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="22">
          <traceStyle color="#FF008000" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="23">
          <traceStyle color="#FF0000FF" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="10">
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</region>

odesolve の解のプロットは Rkadapt の解のプロットとほぼ同じになります。