Задание 3–1. Моделирование ОДУ в пространстве состояний
Прочтите определение задачи, приведенное ниже, а затем найдите в заданиях с 3–1 по 3–3 решение, используя один из следующих методов:
• решатель ОДУ в пространстве состояний;
• решатель ОДУ;
• блок решения.
Определение задачи
Рассмотрим классическую систему масса-пружина-демпфер:
Динамическое уравнение для этой системы записывается в виде:
Эту систему можно представить моделью в пространстве состояний, выраженную в следующей форме:
Где:
• A — матрица состояний
• B — входная матрица
• C — выходная матрица
• D — матрица прямой передачи
• x — вектор состояния
• u — входные данные
• y — измеренные или управляемые выходные данные
Приведенную выше линейную систему можно получить путем линеаризации нелинейных уравнений состояния и уравнений для выходных данных, с помощью которых моделируется динамика системы.
Для этой системы второго порядка необходимо использовать две переменных состояния.
Приняв m = 1, b = 0.5 и k = 3, можно записать уравнения системы в виде:
В форме матрицы состояния модель записывается в виде:
Решатель ОДУ в пространстве состояний
1. Определите матричные функции A, B, C и D.
2. Определите входную функцию как ступенчатую функцию Хевисайда. Чтобы ввести ступенчатую функцию, введите F, а затем нажмите клавиши Ctrl+G.
3. Задайте начальные условия для двух переменных. Чтобы ввести i как индекс в имени переменной или функции, на вкладке Математика (Math) в группе Стиль (Style) щелкните Подстрочный индекс (Subscript), а затем введите i.
4. Определите временные границы, внутри которых требуется найти решение системы.
5. Определите число точек, в которых требуется найти решение, исключая ti.
6. Вызовите функцию statespace.
Первый столбец матрицы sol содержит моменты времени, в которые находятся решения. Остальные столбцы содержат переменные состояния x1 и x2 в эти моменты времени.
7. Извлеките t, x1 и x2 из матрицы sol.
8. Вычислите среднее и максимальное значения x1.
9. Постройте график изменения переменной x1 в зависимости от времени и с помощью маркеров укажите ее среднее и максимальное значение.
График показывает переходные характеристики, такие как время нарастания, выброс и время успокоения.
