積分をシンボリックに評価するには

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積分をシンボリックに評価するには

1. 積分演算子を挿入します。

2. 積分記号の右のプレースホルダーに式を入力します。

3. 記号 d の右のプレースホルダーに積分変数 x を入力します。

4. シンボリック評価演算子を挿入します。

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<region id="ID0EOFPUB" actualWidth="221.93666666666667" actualHeight="58.952000000000005" top="19.200000000000003" left="0" xml:lang="ja" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="6" xml:lang="ja">
    <symEval xml:lang="ja" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="ja">
        <integral xml:lang="ja" />
        <lambda xml:lang="ja">
          <boundVars xml:lang="ja">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
          </boundVars>
          <apply xml:lang="ja">
            <mult xml:lang="ja" />
            <apply xml:lang="ja">
              <pow xml:lang="ja" />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="ja" label-is-contextual="true">x</id>
              <real xml:lang="ja">2</real>
            </apply>
            <apply xml:lang="ja">
              <pow xml:lang="ja" />
              <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="ja" label-is-contextual="true">e</id>
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="ja" label-is-contextual="true">x</id>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="ja">
          <placeholder xml:lang="ja" />
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="ja">
          <placeholder xml:lang="ja" />
        </upperBound>
      </apply>
      <command xml:lang="ja">
        <placeholder xml:lang="ja" />
      </command>
      <symResult xml:lang="ja">
        <apply xml:lang="ja">
          <mult xml:lang="ja" />
          <parens xml:lang="ja">
            <apply xml:lang="ja">
              <plus xml:lang="ja" />
              <apply xml:lang="ja">
                <minus xml:lang="ja" />
                <apply xml:lang="ja">
                  <pow xml:lang="ja" />
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
                  <real xml:lang="ja">2</real>
                </apply>
                <apply xml:lang="ja">
                  <mult xml:lang="ja" />
                  <real xml:lang="ja">2</real>
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
                </apply>
              </apply>
              <real xml:lang="ja">2</real>
            </apply>
          </parens>
          <apply xml:lang="ja">
            <pow xml:lang="ja" />
            <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="ja">e</id>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
          </apply>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
  </math>
</region>

不定積分のみが、シンボリック評価演算子を使用して評価できます。

5. 同じ関数の 0 から 5 までの定積分を求めるには、積分のプレースホルダーの下に 0 と入力します。一番上のプレースホルダーに 5 と入力して、手順 2 から 4 までを繰り返します。

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<region id="ID0E6HPUB" actualWidth="168.5266666666667" actualHeight="58.952000000000005" top="96.000000000000014" left="0" xml:lang="ja" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="7" xml:lang="ja">
    <symEval xml:lang="ja" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="ja">
        <integral xml:lang="ja" />
        <lambda xml:lang="ja">
          <boundVars xml:lang="ja">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
          </boundVars>
          <apply xml:lang="ja">
            <mult xml:lang="ja" />
            <apply xml:lang="ja">
              <pow xml:lang="ja" />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="ja" label-is-contextual="true">x</id>
              <real xml:lang="ja">2</real>
            </apply>
            <apply xml:lang="ja">
              <pow xml:lang="ja" />
              <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="ja" label-is-contextual="true">e</id>
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="ja" label-is-contextual="true">x</id>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="ja">
          <real xml:lang="ja">0</real>
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="ja">
          <real xml:lang="ja">5</real>
        </upperBound>
      </apply>
      <command xml:lang="ja">
        <placeholder xml:lang="ja" />
      </command>
      <symResult xml:lang="ja">
        <apply xml:lang="ja">
          <minus xml:lang="ja" />
          <apply xml:lang="ja">
            <mult xml:lang="ja" />
            <real xml:lang="ja">17</real>
            <apply xml:lang="ja">
              <pow xml:lang="ja" />
              <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="ja">e</id>
              <real xml:lang="ja">5</real>
            </apply>
          </apply>
          <real xml:lang="ja">2</real>
        </apply>
      </symResult>
    </symEval>
    <resultFormat xml:lang="ja">
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="ja" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

コーシー主値

区間 (a, b) における点 c についての積分のコーシー主値は、次の式で定義されます。

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<region id="ID0E5JPUB" actualWidth="213.65666666666669" actualHeight="58.800000000000004" top="230.40000000000003" left="0" xml:lang="ja" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="9" xml:lang="ja">
    <apply xml:lang="ja" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <limit xml:lang="ja" direction="right" />
      <lambda xml:lang="ja">
        <boundVars xml:lang="ja">
          <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">ε</id>
        </boundVars>
        <parens xml:lang="ja">
          <apply xml:lang="ja">
            <plus xml:lang="ja" />
            <apply xml:lang="ja">
              <integral xml:lang="ja" />
              <lambda xml:lang="ja">
                <boundVars xml:lang="ja">
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
                </boundVars>
                <apply xml:lang="ja">
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">f</id>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
                </apply>
              </lambda>
              <lowerBound xml:lang="ja">
                <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">a</id>
              </lowerBound>
              <upperBound xml:lang="ja">
                <apply xml:lang="ja">
                  <minus xml:lang="ja" />
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">c</id>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">ε</id>
                </apply>
              </upperBound>
            </apply>
            <apply xml:lang="ja">
              <integral xml:lang="ja" />
              <lambda xml:lang="ja">
                <boundVars xml:lang="ja">
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
                </boundVars>
                <apply xml:lang="ja">
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">f</id>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
                </apply>
              </lambda>
              <lowerBound xml:lang="ja">
                <apply xml:lang="ja">
                  <plus xml:lang="ja" />
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">c</id>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">ε</id>
                </apply>
              </lowerBound>
              <upperBound xml:lang="ja">
                <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">b</id>
              </upperBound>
            </apply>
          </apply>
        </parens>
      </lambda>
      <real xml:lang="ja">0</real>
    </apply>
  </math>
</region>

コーシー主値の目的は、関数 f が c で特異点を持つ場合に積分の値を定義することです。たとえば、次の積分は c = 0 で特異点を持ち、シンボリック評価の結果はエラーになります。

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<region id="ID0EFLPUB" actualWidth="159.13666666666666" actualHeight="80.552" top="307.2" left="0" xml:lang="ja" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="10" xml:lang="ja">
    <symEval xml:lang="ja" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="ja">
        <integral xml:lang="ja" />
        <lambda xml:lang="ja">
          <boundVars xml:lang="ja">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
          </boundVars>
          <apply xml:lang="ja">
            <div xml:lang="ja" />
            <real xml:lang="ja">1</real>
            <apply xml:lang="ja">
              <pow xml:lang="ja" />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="ja" label-is-contextual="true">x</id>
              <real xml:lang="ja">3</real>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="ja">
          <real xml:lang="ja">-1</real>
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="ja">
          <real xml:lang="ja">1</real>
        </upperBound>
      </apply>
      <command xml:lang="ja">
        <placeholder xml:lang="ja" />
      </command>
      <symResult xml:lang="ja">
        <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="ja">undefined</id>
      </symResult>
    </symEval>
  </math>
</region>

積分のコーシー主値を求めるには、変更因子 cauchy を追加します。

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<region id="ID0ECMPUB" actualWidth="137.65333333333334" actualHeight="80.552" top="403.2000000000001" left="0" xml:lang="ja" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="11" xml:lang="ja">
    <symEval xml:lang="ja" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="ja">
        <integral xml:lang="ja" />
        <lambda xml:lang="ja">
          <boundVars xml:lang="ja">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">x</id>
          </boundVars>
          <apply xml:lang="ja">
            <div xml:lang="ja" />
            <real xml:lang="ja">1</real>
            <apply xml:lang="ja">
              <pow xml:lang="ja" />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="ja" label-is-contextual="true">x</id>
              <real xml:lang="ja">3</real>
            </apply>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="ja">
          <real xml:lang="ja">-1</real>
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="ja">
          <real xml:lang="ja">1</real>
        </upperBound>
      </apply>
      <command xml:lang="ja">
        <id xml:space="preserve" xml:lang="ja">cauchy</id>
      </command>
      <symResult xml:lang="ja">
        <real xml:lang="ja">0</real>
      </symResult>
    </symEval>
    <resultFormat xml:lang="ja">
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="ja" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

コーシー解析を要する整数のシンボリック評価は、キーワード cauchy が指定されていないかぎり結果 undefined が返ります。