微分方程式ソルバについて

常微分方程式 (ODE) ソルバは、方程式または連立方程式を、1 つの変数について解きます。偏微分方程式 (PDE) ソルバは、2 つの変数について関数を解きます (1 次元偏微分方程式)。

ソルブブロックを作成しないで常微分方程式を直接解くには、次の形式の連立常微分方程式を解くいずれかの ODE ソルバを使用します。

ここで、y は独立変数 x の未知関数のベクトルです。高階常微分方程式を解くには、連立 1 階常微分方程式として書き直します。

ODE ソルバは、スティフな連立方程式を解くためのソルバと、スティフでない連立方程式を解くためのソルバの 2 種類に区別されます。y’ = Ay という行列形式で記述された連立常微分方程式で、行列 A がほぼ特異な場合、その連立方程式はスティフです。そうでない場合、その連立方程式はスティフではありません。

• rkfixed、Rkadapt、Bulstoer - 緩やかに変化する常微分方程式のための、固定および適応ステップサイズによる 4 次ルンゲクッタ法と Bulstoer 法。

• Radau、Stiffb、Stiffr - スティフな微分方程式を解くための、RADAU 法、Bulirsch-Stoer 法、および Rosenbrock 法。

• AdamsBDF - 解がスティフかどうかを調べ、結果に応じて BDFまたは Adamsを呼び出します。

• bvalfit、sbval - すべての初期条件が知られているわけではない境界値問題を、線形射撃によって初期値問題に変換します。

固有の、よくある常微分方程式を解くために、特別な多項式発生器および超幾何関数が豊富にそろっています。

• numol - 結合した常微分方程式と代数式の制約条件を含む、双曲線型と放物線型の 1 次元連立偏微分方程式を解きます。コマンドとして使えます。

• relax、multigrid - ポアソン/ラプラスの楕円型偏微分方程式を解きます。コマンドとして使えます。

numolソルバーと multigridソルバーでは扱う物理次元と空間次元が異なるので、相互に置き換えることはできません。

• numolは、双曲線型と放物線型の非定常 1 次元偏微分方程式 (x,t の関数) の解を求める場合に使用します。

• multigridは、定常 2 次元楕円型偏微分方程式 (x,y の関数) の解を正方行列で求める場合に使用します。