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Beispiel: Auswirkungen von TOL und der Integrationsmethode auf bestimmte Integrale
Toleranzparameter
Sehen Sie sich an, wie sich die Systemvariable Konvergenzentoleranz (TOL) auf die Ergebnisse von bestimmten Integralen auswirkt. Sie können TOL auf der Registerkarte Berechnung in der Gruppe Arbeitsblatteinstellungen oder direkt im Arbeitsblatt festlegen.
1. Berechnen Sie das folgende Integral.
Die Antwort wird mit dem Standardwert für TOL berechnet:
2. Vergrößern Sie den Toleranzbereich, und berechnen Sie das Integral neu.
3. Verringern Sie den Toleranzbereich, und berechnen Sie das Integral neu.
Unstetige Funktionen
Unstetige Funktionen können bei bestimmten Integralwerten instabil werden, wenn sie große Amplituden und starke Unstetigkeiten aufweisen. Sie müssen das Intervall der Integration bestimmen, das den größten Teil des Abschnitts enthält, bevor Sie die Integration ausführen. Sie können auch mit TOL experimentieren.
1. Definieren Sie mit der Heaviside Step-Funktion
Φ eine unstetige Sägezahnfunktion.
2. Legen Sie die Konvergenzentoleranzvariable fest.
Der Mindestwert von TOL (10-15) ist für stark unstetige Funktionen zu klein, sodass der Algorithmus möglicherweise falsche Schätzwerte zurückgibt.
3. Plotten Sie die Sägezahnfunktion f(x) und deren Integral Int(x). Skalieren Sie die Integralfunktion um den Faktor 4.
Die Integralfunktion hat eine Spitze bei etwa x = 15. Dies kann bei der Integration unstetiger Funktionen auftreten. Dies wird noch schlimmer, wenn Sie TOL auf einen Wert unter 10-10 absenken.
4. Um eine gültige Antwort zu erhalten, teilen Sie das Integral in Stücke, die den Funktionsunstetigkeiten entsprechen.
5. Plotten Sie f(x) und das neu definierte Int2(x)
Die Spitze um x = 15 ist verschwunden.
Einschränkungen der Integration
Eine der Einschränkungen der numerischen Integration liegt darin, dass sehr schmale Impulse einer Funktion, die fast überall null ist, oft als null integriert werden. Wenn der Integrand in mehr als 95 % des Integrationsbereichs null ist, kann der Algorithmus ihn an den von null verschiedenen Punkten gewöhnlich nicht auswerten.
1. Definieren Sie den Puls der Breite 0.05 mit einem Signal, das die Breite 1.0 und den Wert 0 hat.
2. Berechnen Sie das numerische Integral der Funktion.
Das Ergebnis sollte dem Bereich des Pulses 0.05x1.0 bzw. 0.05 entsprechen.
3. Beheben Sie dieses Problem, indem Sie die Integration über einen kleinen Bereich mit dem von null verschiedenen Teil des Integranden durchführen.
