无穷积分数值计算的非收敛性
本主题为具有一个或两个无穷积分极限的积分在进行数值计算时所出现两种非收敛错误提供了解决方法。
为了说明这两种情况，我们定义了平均值 μ 和标准差 σ。
情况 I：具有一个无穷积分极限的积分
当 n=1 时，在范围 [0, ∞] 内计算 g(x) 的积分时不会返回错误，而是返回一个非常小的值。
情况 I 的解决方法
将 n 的值增加到 n=2，然后重新计算积分。
将 n 的值增加到 n=2 会导致错误，因为计算结果不收敛于解。
作为一种解决方法，请将变量 T 设置为接近 g(x) 尾部的值，然后将单个积分分割为两个积分：一个覆盖范围 [0, T]，一个覆盖范围 [T, ∞]。
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当 n=1 或 n=2 时，分割积分 A3 会返回一个理想的答案。绘制 g(x) 并添加竖直标记 T 以查看其与 g(x) 尾部的接近程度。
绘图将变量 T 显示为靠近 g(x) 尾部的竖直标记。
情况 II：具有两个无穷积分极限的积分
将乘数变量 n 设置为 1，然后在范围 [-∞, ∞] 内计算 g(x) 的积分。
当 n=1 时，在范围 [-∞, ∞] 内计算 g(x) 的积分不会返回错误，但会返回一个非常小的值。
情况 II 的解决方法
作为一种解决方法，将变量 T1 和 T2 设置为靠近 g(x) 的头部和尾部的值，然后将单个积分分割为三个积分：一个覆盖范围 [-∞, T1]，一个覆盖范围 [T1, T2]，一个覆盖范围 [T2, ∞]。
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当 n=1 或 n=2 时，分割积分会返回一个理想的答案。绘制 g(x) 并添加竖直标记 T1 和 T2 以查看其与 g(x) 头部和尾部的接近程度。
观察和结论
使用相同的平均值和两个不同的标准差值绘制内置概率密度函数 dnorm 的图像。
绘图显示：
• 较小的标准差值会导致曲线下的大部分面积更加接近平均值。在这种情况下，数值计算在收敛时会返回错误答案。
• 较大的标准差值会导致曲线下的大部分面积偏离平均值。在这种情况下，数值计算无法收敛。
在以上两种情况下，分割积分可确保计算收敛并返回正确的答案。