例: 正方形プレートの熱流量

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例: 正方形プレートの熱流量 - I

偏微分方程式ソルバーmultigridを使用して正方形プレートの定常状態における温度分布を求めます。

ラプラスの方程式の求解

定温内部熱源を持つ正方形プレートの温度 T(x,y) を求めます。熱源の境界は 0 度に固定されています。

1. 正方形プレートの寸法を定義します。

2. 2 変数ラプラス方程式を記述して熱源のないプレート上の点を表します。

3. 熱源 ρ の寸法を次のように設定します。

4. 熱源の位置を次のように定義します。

5. 熱源の強さを次のように定義します。

6. multigrid 法での反復計算の各レベルでのサイクル数を次のように設定します。

7. multigrid 関数を使用して次のように解を求めます。

8. 3D プロットを作成して、正方形プレートの熱分布を示します。

<region id="ID0EXOZ5" top="1036.8000000000002" left="38.400000000000006" height="301.40000715255735" width="297.6000071525574" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white">
    <plot3D>
      <traces>
        <trace3D resultRef="56" num-of-points="41" SurfaceFill="#00FFFFFF">
          <traceStyle color="#FFED1D2F">surface</traceStyle>
        </trace3D>
      </traces>
      <graph-size width="240.00000715255737" height="240.00000715255737" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" start="0" end="32">
          <axisLine />
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          </numberFormat>
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            <endValue />
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" start="0" end="32">
          <axisLine />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>5</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <numberFormat>
            <general precision="3" />
          </numberFormat>
          <xyDomain auto-scale="true" allow-negative-values="true" scale-type="linear">
            <startValue />
            <endValue />
          </xyDomain>
        </yAxis>
        <zAxis rank="1" start="0" end="1.25">
          <axisLine />
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          </axisGrid>
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          <numberFormat>
            <general precision="3" />
          </numberFormat>
          <zDomain auto-scale="true" allow-negative-values="true" scale-type="linear">
            <startValue />
            <endValue />
          </zDomain>
        </zAxis>
      </axes>
      <plotEquations>
        <plotEquation>
          <math>
            <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
              <neg />
              <id xml:space="preserve">G</id>
            </apply>
          </math>
          <math>
            <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
          </math>
        </plotEquation>
      </plotEquations>
      <CameraTransformMatrix Columns="4" Rows="4">
        <Cells>
          <Cell>-0.033544651990996412</Cell>
          <Cell>0.15928240904068555</Cell>
          <Cell>0.98666299742769259</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>0.30398219843693014</Cell>
          <Cell>0.942073234763303</Cell>
          <Cell>-0.14174922707393303</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>-0.95208695997595394</Cell>
          <Cell>0.29517305858225334</Cell>
          <Cell>-0.080020535682685218</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>1</Cell>
        </Cells>
      </CameraTransformMatrix>
      <CameraType>直交</CameraType>
    </plot3D>
  </plot>
</region>

9. 等高線図を作成して等温線を表示します。

10. 熱源を別の場所に配置して別の設定を定義します。

11. multigrid 法での反復計算の各レベルでのサイクル数を次のように設定します。

12. multigrid 関数を使用して次のように解を求めます。

13. 3D プロットを作成して、正方形プレートの熱分布を示します。

<region id="ID0EFYZ5" top="2265.6000000000004" left="38.400000000000006" height="301.40000715255735" width="297.6000071525574" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white">
    <plot3D>
      <traces>
        <trace3D resultRef="76" num-of-points="41" SurfaceFill="#00FFFFFF">
          <traceStyle color="#FF2E3192">surface</traceStyle>
        </trace3D>
      </traces>
      <graph-size width="240.00000715255737" height="240.00000715255737" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" start="0" end="32">
          <axisLine />
          <axisGrid>
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          </axisGrid>
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          </numberFormat>
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            <endValue />
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" start="0" end="32">
          <axisLine />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>5</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
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          </axisGrid>
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          <xyDomain auto-scale="true" allow-negative-values="true" scale-type="linear">
            <startValue />
            <endValue />
          </xyDomain>
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          </numberFormat>
          <zDomain auto-scale="true" allow-negative-values="true" scale-type="linear">
            <startValue />
            <endValue />
          </zDomain>
        </zAxis>
      </axes>
      <plotEquations>
        <plotEquation>
          <math>
            <id xml:space="preserve" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">H</id>
          </math>
          <math>
            <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
          </math>
        </plotEquation>
      </plotEquations>
      <CameraTransformMatrix Columns="4" Rows="4">
        <Cells>
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          <Cell>0</Cell>
          <Cell>-0.33031167875973361</Cell>
          <Cell>0.942946222767463</Cell>
          <Cell>0.04179253334628906</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>0.89893444482889184</Cell>
          <Cell>0.30077763670149293</Cell>
          <Cell>0.31851165937911374</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>0</Cell>
          <Cell>1</Cell>
        </Cells>
      </CameraTransformMatrix>
      <CameraType>直交</CameraType>
    </plot3D>
  </plot>
</region>

14. 等高線図を作成して等温線を表示します。