蒸気の輸送方程式 2.169において、Re と Rc は、キャビテーション発生を伴うフロー内の蒸気の気泡の成長と崩壊に関連する質量移動のソース項です。これらの項は、キャビテーションプロセス中の蒸気相と液相間の質量交換を表します。Re と Rc は、液体内の単一の蒸気の気泡の成長を説明するレイリー-プレセット方程式でモデリングされます。

キャビテーションにおける正味の相変化率の式を導くため、非凝縮性ガスを考慮しない、すべり速度がゼロである非圧縮性液体-気体 2 相流れを考えます。液体から蒸気への正味の質量移動率を R で表した場合、液体と蒸気の体積分率の式と総質量の連続方程式は以下のようになります。

液体-蒸気 2 相系では、混合物の密度ρは蒸気の体積分率と相密度によって表されます。

式 2.182

液体密度と蒸気密度のどちらも一定である (非圧縮性) と見なされるので、速度勾配と蒸気の体積分率の関係式は式 2.181と式 2.182から導かれます。

式 2.183

式 2.179と式 2.183を組み合わせることで、以下のような正味質量のソース項の式が与えられます。

式 2.184

式 2.184を式 2.180に代入すると、蒸気の体積分率の式は以下の一般形式に書き換えられます。

式 2.185

蒸気の質量分率と体積分率の関係式である式 2.173を適用することで、蒸気の質量分率を使用して式 2.185を表すことができます。

式 2.186

式 2.185と式 2.186から、液相と蒸気相の間の速度すべりがゼロの状態においては、キャビテーションを、追加の蒸気質量分率輸送方程式を使用して単相流れとして、または液体-蒸気質量移動があるオイラー多相混合物流れとしてモデリングできることがわかります。拡散の影響と相の速度差を考慮しない場合、この 2 つのアプローチは数学的に同一です。Creo Flow Analysis はキャビテーション発生を伴うフローのモデリングに単相アプローチを採用しています。

ほとんどの自然環境とエンジニアリングのシステムにおいて、キャビテーションが発生するのに十分な数の核 (気泡や非凝縮性ガスなど) が液体内に存在します。この結果、キャビテーションプロセスをモデリングするには、気泡の成長と崩壊を正しく考慮することに主な重点が置かれます。流動液体において、液体と蒸気気泡の間の速度すべりがゼロであるとした場合、気泡の力学方程式は、液体内の気泡の成長を説明するレイリー-プレセットの一般式から導かれます。

式 2.187

ここで、

この式は力学的平衡 (気泡の成長に対する熱の障壁がない) から導かれます。

2 次時間微分 (低振動周波数に対応)、粘性減衰項、表面張力を無視した場合、漸近状態で有効な式 2.187は以下のようにまとめられます。

式 2.188

このまとめたレイリー-プレセットの式は、気泡力学の影響をキャビテーションモデルに導入するための物理的なアプローチを提供します。気泡半径は (pB-p) の応じて増減します。つまり、気泡は p<pB の場合は成長し、p>pB の場合は崩壊します。したがって、式 2.188は以下のように書き換えられます。

式 2.189

ηを液体内の蒸気気泡数密度 (単位体積当りに存在する気泡の数) とし、すべての蒸気気泡が同じ半径 RB を持つ完全な球であるとした場合、蒸気相の体積分率は以下のようになります。

式 2.190

蒸気気泡は液体内で作成または破壊されないが、キャビテーションプロセス中に気泡は成長 (蒸発) および崩壊 (凝縮) できるものとします。式 2.190では、蒸気気泡数密度 (η) は一定のままとなりますが、気泡半径 (RB) は増減します。その結果、蒸気の体積分率の時間微分は以下のように計算されます。

式 2.191

式 2.191を式 2.186に代入すると、蒸気相の質量分率を支配する以下のような輸送方程式が与えられます。

式 2.192

式 2.189を適用することで、液体と蒸気の間の単位ボリューム当りの質量移動の正味速度は以下の形式をとります。

式 2.193

ここで、式 2.193は、キャビテーションにおいては、単位ボリュームの質量移動速度 (R) は蒸気相と液相の密度の関数であり (これらの密度に比例)、混合物の密度に反比例する、ということを示しています。式 2.192は相と混合物の質量連続性から直接導かれるので、この式は厳密であり、キャビテーションにおける液相と蒸気相の間の質量移動を正確に表します。気泡力学の導入によって、式 2.193は同様のアプローチを使用して、液体から蒸気への質量移動 (気泡の成長、つまり蒸発) と蒸気から液体への質量移動 (気泡の崩壊、つまり凝縮) の 2 つの物理的に正反対であるプロセスをモデリングします。蒸気の質量分率の輸送方程式 2.192では、気泡の成長がソース項、気泡の崩壊がシンク項として扱われます。

実際のキャビテーションモデルでは、通常、局所遠方界圧力 p はセル中央の圧力と同じであるものと見なされます。油溶性ガス、質量移動、粘性減衰がない場合、気泡圧力 pB は飽和蒸気圧 (psat、材料特性) と等しくなります (pB=psat)

式 2.192と式 2.193を一般的な蒸気の質量分率の式 2.169と比較した場合、ソース項 Re と Rc は以下のようになります。

式 2.194と式 2.195は、ほぼすべての力学的 2 相キャビテーションモデルの基礎となります。Creo Flow Analysis は Singhal ほかのモデリングアプローチを使用しています。

非凝縮性ガスは、作動流体内によく存在し、キャビテーションに大きな影響を与えることがあります。非凝縮性ガスが流れとともに自由に移動し、液体に溶解したり液体から放出されることによって、自然に液相と気相の間で質量濃度が動的平衡状態になることもあります。液体へのガスの吸収/溶解と放出は、液体-ガスの質量移動の現象でもあり、質量濃度の差と勾配によって決まります。キャビテーション発生を伴う流れをモデリングするには、非凝縮性ガスの影響と、混合物の流れにおいて考えられる液体-ガスの質量移動も考慮する必要があります。

液体-ガス 2 相の流れにおいて、空気や酸素などの非凝縮性ガスが液相 (油溶性ガス) と気相 (遊離ガス) の両方に存在するとした場合、各相におけるガス質量分率の輸送方程式は以下のようになります。