Non convergenza della valutazione numerica degli integrali con limiti infiniti
Questo argomento fornisce una soluzione temporanea per due casi di errori di non convergenza quando si valutano numericamente gli integrali con uno o due limiti di integrazione infiniti.
Per spiegare i due casi, definire una media μ e una deviazione standard σ.
Caso I: integrale con un limite infinito di integrazione
Impostare la variabile moltiplicatore n su 1, quindi definire la funzione g(x) in termini di funzione di densità di probabilità incorporata dnorm.
Quando n=1, la valutazione dell'integrale di g(x) sull'intervallo [0, ∞] non restituisce un errore, ma restituisce un valore molto piccolo.
Soluzione temporanea per il caso I
Aumentare il valore di n a n=2 e rivalutare l'integrale.
Se si aumenta il valore di n a n=2, si ottiene un errore poiché il calcolo non converge a una soluzione.
Come soluzione temporanea, impostare la variabile T su un valore vicino alla coda di g(x), quindi dividere il singolo integrale in due: uno che copre l'intervallo [0, T] e uno che copre l'intervallo [T, ∞].
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L'integrale diviso A3 restituisce una risposta valida quando n=1 o n=2. Plottare g(x) e aggiungere un indicatore verticale T per vedere quanto è vicino alla coda di g(x).
Il grafico mostra la variabile T come indicatore verticale vicino alla coda di g(x).
Caso II: integrale con due limiti di integrazione infiniti
Impostare la variabile moltiplicatore n su 1, quindi valutare l'integrale di g(x) nell'intervallo [-∞, ∞].
Quando n=1, la valutazione dell'integrale di g(x) nell'intervallo [-∞, ∞] non restituisce alcun errore, ma restituisce un valore molto piccolo.
Soluzione temporanea per il caso II
Come soluzione temporanea, impostare le variabili T1 e T2 su valori vicini alla testa e alla coda di g(x), quindi dividere il singolo integrale in tre integrali: uno che copre l'intervallo [-∞, T1], uno che copre l'intervallo [T1, T2] e uno che copre l'intervallo [T2, ∞].
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L'integrale diviso restituisce una risposta valida quando n=1 o n=2. Plottare g(x) e aggiungere gli indicatori verticali T1 e T2 per vedere quanto sono vicini alla testa e alla coda di g(x).
Osservazioni e conclusioni
Plottare la funzione di densità di probabilità incorporata dnorm utilizzando la stessa media ma due diversi valori di deviazione standard.
Il grafico mostra che:
• il valore di deviazione standard inferiore fa sì che la maggior parte dell'area sotto la curva sia più vicina alla media. In questo caso, il calcolo numerico converge ma restituisce la risposta errata.
• il valore di deviazione standard più grande fa sì che la maggior parte dell'area sotto la curva si allontani dalla media. In questo caso, il calcolo numerico non riesce a convergere.
In entrambi i casi, la suddivisione dell'integrale garantisce che il calcolo sia convergente e restituisca la risposta corretta.