Esempio: parametrizzazione delle soluzioni

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Definire una funzione che risolve un'equazione o un sistema dipendente da un parametro sconosciuto con la funzione root o con un blocco di soluzione. In questo modo è possibile risolvere un'intera famiglia di equazioni.

Funzione root

Risolvere l'equazione f1=f2 per diversi valori del parametro a.

1. Definire due funzioni.

2. Definire una nuova funzione S per risolvere l'equazione per diversi valori di a.

3. Definire un valore ipotizzato iniziale.

4. Definire l'intervallo di parametri a e risolvere l'equazione per ognuno dei relativi valori.

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Blocco di soluzione: fattore di attrito

Trovare il fattore di attrito f per valori specifici di e (rugosità tubo), D (diametro tubo) e R (numero di Reynolds).

1. Definire un valore ipotizzato.

2. Scrivere un blocco di soluzione per definire una funzione che calcola il fattore di attrito.

<region id="ID0EQ4G5" top="1114.96062992126" left="56.6929133858268" width="265.6" height="112.8" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <solveblock>
    <regions>
      <region id="" top="48" left="24" solve-block-category="constraint">
        <math disable-calc="false">
          <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal />
            <apply>
              <div />
              <real>1</real>
              <apply>
                <nthRoot />
                <placeholder />
                <id>f</id>
              </apply>
            </apply>
            <apply>
              <mult />
              <real>-2</real>
              <apply>
                <id>log</id>
                <apply>
                  <plus />
                  <apply>
                    <div />
                    <apply>
                      <mult />
                      <id>ε</id>
                      <apply>
                        <pow />
                        <id>D</id>
                        <real>-1</real>
                      </apply>
                    </apply>
                    <real>3.7</real>
                  </apply>
                  <apply>
                    <div />
                    <real>2.51</real>
                    <apply>
                      <mult />
                      <id>R</id>
                      <apply>
                        <nthRoot />
                        <placeholder />
                        <id>f</id>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="96" left="24" solve-block-category="solver">
        <math disable-calc="false">
          <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <function>
              <id label="Function">FricFac</id>
              <boundVars>
                <id label="Variable">ε</id>
                <id label="Variable">D</id>
                <id label="Variable">R</id>
              </boundVars>
            </function>
            <apply>
              <id label="Keyword">find</id>
              <id>f</id>
            </apply>
          </define>
        </math>
      </region>
    </regions>
  </solveblock>
</region>

I parametri e, D e R non sono ancora stati definiti. Ogni volta che si calcola la funzione FricFac, è possibile specificare nuovi valori per tali parametri e chiamare nuovamente il blocco di soluzione.

3. Calcolare il fattore di attrito per diversi numeri di Reynolds.

<region id="ID0E2BH5" top="1568.50393700787" left="56.6929133858268" width="547.659842519685" height="302.362204724409" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <axes>
        <xAxis legend-position="PlotBoundaryBottom" rank="1">
          <axisLine position="bottom" positionticmark="-1" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <indexer />
                  <id label="Variable">R</id>
                  <id>i</id>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis legend-position="PlotBoundaryLeft" rank="1">
          <axisLine position="left" positionticmark="-1" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <indexer />
                  <id label="Variable">ff</id>
                  <id>i</id>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

Blocco di soluzione: intersezione di cerchio e linea

1. Trovare i punti in cui un cerchio e una linea y = 2 - x si incontrano con il variare del raggio del cerchio.

<region id="ID0E5GH5" top="2229.92125984252" left="56.6929133858268" width="430.383567271483" height="396.506675795958" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF9BBB59" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF8DB3E2" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <axes>
        <xAxis legend-position="PlotBoundaryBottom" rank="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="4" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">X</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">5</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis legend-position="PlotBoundaryLeft" rank="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="4" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">TopCir</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">BotCir</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">Line</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">5</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

2. Scrivere un blocco di soluzione per definire una funzione che restituisce le coordinate del punto di intersezione tra la linea y = 2 - x e il cerchio di raggio R.

3. Utilizzare la funzione Z appena definita per trovare le coordinate del punto di intersezione per R=3 e i valori ipotizzati di x=1 e y=1.

4. Tracciare il grafico del punto di intersezione.

<region id="ID0ECNH5" top="3269.29133858268" left="56.6929133858268" width="433.583567271483" height="486.95652173913" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot origin-positioning="false">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF8DB3E2" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF9BBB59" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace>
          <traceStyle color="#FF000000" symbol="rectangle" line-weight="1" line-style="None">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <axes>
        <xAxis legend-position="PlotBoundaryBottom" rank="1">
          <axisLine position="ticknumberlock" positionticmark="4" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">X</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">X</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">X</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <indexer />
                  <apply>
                    <id>Z</id>
                    <real>3</real>
                  </apply>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">5</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis legend-position="PlotBoundaryLeft" rank="1">
          <axisLine position="ticknumberlock" positionticmark="4" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">TopCir</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">BotCir</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">Line</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math>
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <indexer />
                  <apply>
                    <id>Z</id>
                    <real>3</real>
                  </apply>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">5</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

5. Utilizzare la funzione Z appena definita per trovare le coordinate dei punti di intersezione per 5 diversi valori del raggio R.

È possibile aggiungere parametri anche ai valori ipotizzati del blocco di soluzione precedente, definendo Z(R, x, y). In questo modo, è possibile trovare le due diverse soluzioni per ogni raggio utilizzando una singola impostazione di blocco di soluzione.

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