Esempio: equazioni PDE in blocchi di soluzione
Utilizzare un'equazione differenziale parziale (PDE) nel blocco di soluzione e il solutore di equazioni differenziali parziali numol per confrontare le soluzioni per un'equazione d'onda.
Blocco di soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali
Per risolvere la seguente equazione d'onda unidimensionale:
utilizzare il vincolo:
Per creare la prima equazione come sistema di due equazioni differenziali parziali, impostare un blocco di soluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali
Di seguito è riportata una singola soluzione al limite.
Creare una griglia di soluzioni da tracciare in modo tridimensionale con la funzione CreateMesh, utilizzando i vincoli definiti in precedenza:
Utilizzo di numol
È possibile risolvere il solutore numol a riga di comando. Ciò è particolarmente utile quando si desidera includere il calcolo in un programma.
Definire il numero di equazioni differenziali parziali e di vincoli algebrici nel sistema:
La funzione per valutare il lato destro delle equazioni PDE è un vettore di lunghezza num_pde + num_pae (equazioni algebriche parziali). In questo caso, la funzione è un sistema di equazioni. Analogamente, la condizione al limite è definita come vettore colonna di lunghezza num_pde + num_pae.
L'espressione per il vettore di equazioni differenziali parziali:
Pertanto u1=v, come definito in precedenza, e u0=w.
Il vettore di condizioni iniziali:
Si supponga che ogni lato sinistro sia la derivata temporale del primo ordine del vettore di funzione sconosciuto u. Le variabili della funzione sono x (spazio) e t (tempo). La soluzione è u, che può essere anche un vettore di soluzioni per un sistema di equazioni: ux, la derivata prima di ogni soluzione u nel vettore, e uxx, la derivata spaziale seconda.
Per risolvere le singole voci in u, ux e uxx, è necessario utilizzare indici di vettore.
Il vettore delle condizioni al limite può includere tre tipi di righe. Ogni riga è determinata da uno dei seguenti elementi:
• rhs contiene le derivate spaziali di secondo ordine: sono necessarie due condizioni al limite (Dirichlet "D" o Neumann "N"), una per ogni lato della regione di integrazione.
• rhs contiene le derivate spaziali di primo ordine: una condizione al limite di Dirichlet sul lato sinistro o destro della regione di integrazione, l'altra è "NA".
• Se il vettore non contiene derivate spaziali, non sono necessarie condizioni al limite.
Le condizioni al limite al bordo sinistro e destro seguono queste convenzioni:
Il risultato di numol è una matrice che rappresenta ogni punto nello spazio come una riga e ogni punto nel tempo come colonna. Ciò facilita la visualizzazione delle soluzioni poiché consente di selezionare una colonna alla volta, rappresentando la soluzione in tutto lo spazio in un singolo momento. Quando si risolve un sistema di equazioni, la matrice di soluzione per ogni funzione sconosciuta viene aggiunta al lato della matrice precedente.
Nell'esempio corrente, sono presenti 20 punti nel tempo per ogni funzione, pertanto la matrice include 40 colonne. Scegliere la prima soluzione, u0:
Confronto tra numol e pdesolve
Confronto tra soluzioni numol e Pdesolve in un punto t0:
Confrontare la griglia di soluzioni per i valori di spazio e tempo:
