Esempio: soluzione di un sistema lineare di equazioni

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Esempio: soluzione di un sistema lineare di equazioni

Risolvere un sistema lineare di n equazioni in n incognite utilizzando la funzione lsolve o blocchi di soluzione.

Utilizzo di lsolve

1. Presupporre di avere a disposizione l'insieme di equazioni seguente (definito utilizzando l'operatore di uguale):

Fare clic per copiare questa espressione

<region id="ID0E45RAB" top="144" left="24" height="197.155072463768" width="300" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <solveblock xml:lang="it">
    <regions xml:lang="it">
      <region id="" top="24" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="constraint">
        <math xml:lang="it" disable-calc="false">
          <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <minus xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <plus xml:lang="it" />
                <apply xml:lang="it">
                  <plus xml:lang="it" />
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">0.3</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">w</id>
                  </apply>
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">0.2</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
                  </apply>
                </apply>
                <apply xml:lang="it">
                  <scale xml:lang="it" />
                  <real xml:lang="it">6.6</real>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">y</id>
                </apply>
              </apply>
              <apply xml:lang="it">
                <scale xml:lang="it" />
                <real xml:lang="it">1.1</real>
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">z</id>
              </apply>
            </apply>
            <real xml:lang="it">1</real>
          </apply>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="72" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="constraint">
        <math xml:lang="it" disable-calc="false">
          <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <plus xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <minus xml:lang="it" />
                <apply xml:lang="it">
                  <minus xml:lang="it" />
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">4.5</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">w</id>
                  </apply>
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">1.8</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
                  </apply>
                </apply>
                <apply xml:lang="it">
                  <scale xml:lang="it" />
                  <real xml:lang="it">0.3</real>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">y</id>
                </apply>
              </apply>
              <apply xml:lang="it">
                <scale xml:lang="it" />
                <real xml:lang="it">6.5</real>
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">z</id>
              </apply>
            </apply>
            <real xml:lang="it">0.1</real>
          </apply>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="120" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="constraint">
        <math xml:lang="it" disable-calc="false">
          <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <minus xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <plus xml:lang="it" />
                <apply xml:lang="it">
                  <plus xml:lang="it" />
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">-7.3</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">w</id>
                  </apply>
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">9.7</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
                  </apply>
                </apply>
                <apply xml:lang="it">
                  <scale xml:lang="it" />
                  <real xml:lang="it">10.9</real>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">y</id>
                </apply>
              </apply>
              <apply xml:lang="it">
                <scale xml:lang="it" />
                <real xml:lang="it">4.1</real>
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">z</id>
              </apply>
            </apply>
            <real xml:lang="it">0.01</real>
          </apply>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="168" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="constraint">
        <math xml:lang="it" disable-calc="false">
          <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <plus xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <plus xml:lang="it" />
                <apply xml:lang="it">
                  <minus xml:lang="it" />
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">8.1</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">w</id>
                  </apply>
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">2.7</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">x</id>
                  </apply>
                </apply>
                <apply xml:lang="it">
                  <scale xml:lang="it" />
                  <real xml:lang="it">8.7</real>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">y</id>
                </apply>
              </apply>
              <apply xml:lang="it">
                <scale xml:lang="it" />
                <real xml:lang="it">8.9</real>
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">z</id>
              </apply>
            </apply>
            <apply xml:lang="it">
              <mult xml:lang="it" />
              <real xml:lang="it">1</real>
              <apply xml:lang="it">
                <pow xml:lang="it" />
                <real xml:lang="it">10</real>
                <real xml:lang="it">-3</real>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
    </regions>
  </solveblock>
</region>

2. Creare una matrice non singolare corrispondente al sistema di equazioni precedente.

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<region id="ID0ESASAB" top="460.8" left="38.4" height="81.4" width="203.113333333333" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label="Variable">M</id>
      <matrix rows="4" cols="4" xml:lang="it">
        <real xml:lang="it">0.3</real>
        <real xml:lang="it">4.5</real>
        <real xml:lang="it">-7.3</real>
        <real xml:lang="it">8.1</real>
        <real xml:lang="it">0.2</real>
        <real xml:lang="it">-1.8</real>
        <real xml:lang="it">9.7</real>
        <real xml:lang="it">-2.7</real>
        <real xml:lang="it">6.6</real>
        <real xml:lang="it">-0.3</real>
        <real xml:lang="it">10.9</real>
        <real xml:lang="it">8.7</real>
        <real xml:lang="it">-1.1</real>
        <real xml:lang="it">6.5</real>
        <real xml:lang="it">-4.1</real>
        <real xml:lang="it">8.9</real>
      </matrix>
    </define>
    <resultFormat xml:lang="it">
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

3. Creare il vettore di costanti corrispondente al sistema di equazioni precedente.

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4. Utilizzare la funzione lsolve per trovare la soluzione.

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Utilizzo di blocchi di soluzione

È possibile risolvere il sistema di equazioni precedente anche utilizzando un blocco di soluzione.

Se si trasforma il sistema in una matrice moltiplicata per un vettore sconosciuto X, è necessario trovare la soluzione per tutte le variabili nel vettore simultaneamente. In questa formulazione non è possibile mantenere costante nessuno degli elementi del vettore.

1. Specificare un vettore di valori ipotizzati X:

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2. Inserire un blocco di soluzione e utilizzarlo per trovare la funzione per risolvere il sistema di equazioni precedente:

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<region id="ID0E6JSAB" top="1152" left="19.2" height="240" width="300" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <solveblock xml:lang="it">
    <regions xml:lang="it">
      <region id="" top="120" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="constraint">
        <math xml:lang="it" disable-calc="false">
          <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <mult xml:lang="it" />
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">M</id>
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">X</id>
            </apply>
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">v</id>
          </apply>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="192" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="solver">
        <math resultRef="5" xml:lang="it" disable-calc="false">
          <eval xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <apply xml:lang="it">
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label="Keyword">find</id>
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true" label="Variable">X</id>
            </apply>
            <unitOverride xml:lang="it">
              <placeholder xml:lang="it" />
            </unitOverride>
          </eval>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
    </regions>
  </solveblock>
</region>

Il vettore di valori ipotizzati X deve essere definito prima e all'esterno del blocco di soluzione.

Blocchi di soluzione - Soluzione di matrici

1. Definire un insieme di equazioni algebriche di Riccati (dalla teoria dei sistemi e del controllo).

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2. Definire la matrice di ipotesi iniziali come matrice identità:

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3. Utilizzare la funzione Find per risolvere l'insieme di equazioni precedente.

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<region id="ID0ENRSAB" top="1862.4" left="19.2" height="100" width="400" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <solveblock xml:lang="it">
    <regions xml:lang="it">
      <region id="" top="24" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="constraint">
        <math xml:lang="it" disable-calc="false">
          <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <plus xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <plus xml:lang="it" />
                <apply xml:lang="it">
                  <plus xml:lang="it" />
                  <apply xml:lang="it">
                    <mult xml:lang="it" />
                    <apply xml:lang="it">
                      <mult xml:lang="it" />
                      <apply xml:lang="it">
                        <neg xml:lang="it" />
                        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">P1</id>
                      </apply>
                      <id xml:space="preserve" xml:lang="it">A1</id>
                    </apply>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">P1</id>
                  </apply>
                  <apply xml:lang="it">
                    <mult xml:lang="it" />
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">P1</id>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">B1</id>
                  </apply>
                </apply>
                <apply xml:lang="it">
                  <mult xml:lang="it" />
                  <apply xml:lang="it">
                    <transpose xml:lang="it" />
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">B1</id>
                  </apply>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">P1</id>
                </apply>
              </apply>
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">C1</id>
            </apply>
            <real xml:lang="it">0</real>
          </apply>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="72" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="solver">
        <math resultRef="6" xml:lang="it" disable-calc="false">
          <eval xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <apply xml:lang="it">
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label="Keyword">find</id>
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true" label="Variable">P1</id>
            </apply>
            <unitOverride xml:lang="it">
              <placeholder xml:lang="it" />
            </unitOverride>
          </eval>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
    </regions>
  </solveblock>
</region>

Unità in blocchi di soluzione

1. Impostare V1, V2 e V3 su 1 volt.

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2. Definire e risolvere il sistema di equazioni con tre incognite.

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<region id="ID0EZWSAB" top="2227.2" left="19.2" height="338.619251794113" width="363.37476255879" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <solveblock xml:lang="it">
    <regions xml:lang="it">
      <region id="" top="43.2" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="constraint">
        <math xml:lang="it" disable-calc="false">
          <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <minus xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <minus xml:lang="it" />
                <apply xml:lang="it">
                  <mult xml:lang="it" />
                  <parens xml:lang="it">
                    <apply xml:lang="it">
                      <plus xml:lang="it" />
                      <apply xml:lang="it">
                        <plus xml:lang="it" />
                        <apply xml:lang="it">
                          <div xml:lang="it" />
                          <real xml:lang="it">1</real>
                          <apply xml:lang="it">
                            <scale xml:lang="it" />
                            <real xml:lang="it">2</real>
                            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                          </apply>
                        </apply>
                        <apply xml:lang="it">
                          <div xml:lang="it" />
                          <real xml:lang="it">1</real>
                          <apply xml:lang="it">
                            <scale xml:lang="it" />
                            <real xml:lang="it">2</real>
                            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                          </apply>
                        </apply>
                      </apply>
                      <apply xml:lang="it">
                        <div xml:lang="it" />
                        <real xml:lang="it">1</real>
                        <apply xml:lang="it">
                          <scale xml:lang="it" />
                          <real xml:lang="it">10</real>
                          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                  </parens>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">V1</id>
                </apply>
                <apply xml:lang="it">
                  <div xml:lang="it" />
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">V2</id>
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">2</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply xml:lang="it">
                <div xml:lang="it" />
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">V3</id>
                <apply xml:lang="it">
                  <scale xml:lang="it" />
                  <real xml:lang="it">10</real>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply xml:lang="it">
              <scale xml:lang="it" />
              <real xml:lang="it">0</real>
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label="Unit">A</id>
            </apply>
          </apply>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="115.2" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="constraint">
        <math xml:lang="it" disable-calc="false">
          <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <minus xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <minus xml:lang="it" />
                <apply xml:lang="it">
                  <mult xml:lang="it" />
                  <parens xml:lang="it">
                    <apply xml:lang="it">
                      <plus xml:lang="it" />
                      <apply xml:lang="it">
                        <div xml:lang="it" />
                        <real xml:lang="it">1</real>
                        <apply xml:lang="it">
                          <scale xml:lang="it" />
                          <real xml:lang="it">2</real>
                          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                        </apply>
                      </apply>
                      <apply xml:lang="it">
                        <div xml:lang="it" />
                        <real xml:lang="it">1</real>
                        <apply xml:lang="it">
                          <scale xml:lang="it" />
                          <real xml:lang="it">2</real>
                          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                  </parens>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">V2</id>
                </apply>
                <apply xml:lang="it">
                  <div xml:lang="it" />
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">V1</id>
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">2</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply xml:lang="it">
                <div xml:lang="it" />
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">V3</id>
                <apply xml:lang="it">
                  <scale xml:lang="it" />
                  <real xml:lang="it">2</real>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply xml:lang="it">
              <scale xml:lang="it" />
              <real xml:lang="it">3</real>
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label="Unit">A</id>
            </apply>
          </apply>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="187.2" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="constraint">
        <math xml:lang="it" disable-calc="false">
          <apply xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <equal xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <minus xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <minus xml:lang="it" />
                <apply xml:lang="it">
                  <mult xml:lang="it" />
                  <parens xml:lang="it">
                    <apply xml:lang="it">
                      <plus xml:lang="it" />
                      <apply xml:lang="it">
                        <plus xml:lang="it" />
                        <apply xml:lang="it">
                          <div xml:lang="it" />
                          <real xml:lang="it">1</real>
                          <apply xml:lang="it">
                            <scale xml:lang="it" />
                            <real xml:lang="it">10</real>
                            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                          </apply>
                        </apply>
                        <apply xml:lang="it">
                          <div xml:lang="it" />
                          <real xml:lang="it">1</real>
                          <apply xml:lang="it">
                            <scale xml:lang="it" />
                            <real xml:lang="it">2</real>
                            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                          </apply>
                        </apply>
                      </apply>
                      <apply xml:lang="it">
                        <div xml:lang="it" />
                        <real xml:lang="it">1</real>
                        <apply xml:lang="it">
                          <scale xml:lang="it" />
                          <real xml:lang="it">4</real>
                          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                  </parens>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">V3</id>
                </apply>
                <apply xml:lang="it">
                  <div xml:lang="it" />
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">V2</id>
                  <apply xml:lang="it">
                    <scale xml:lang="it" />
                    <real xml:lang="it">2</real>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply xml:lang="it">
                <div xml:lang="it" />
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">V1</id>
                <apply xml:lang="it">
                  <scale xml:lang="it" />
                  <real xml:lang="it">10</real>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">Ω</id>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply xml:lang="it">
              <scale xml:lang="it" />
              <real xml:lang="it">0</real>
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label="Unit">A</id>
            </apply>
          </apply>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
      <region id="" top="278.4" left="24" xml:lang="it" solve-block-category="solver">
        <math resultRef="7" xml:lang="it" disable-calc="false">
          <eval xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
            <apply xml:lang="it">
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label="Keyword">find</id>
              <sequence xml:lang="it">
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true" label="Variable">V1</id>
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true" label="Variable">V2</id>
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true" label="Variable">V3</id>
              </sequence>
            </apply>
            <unitOverride xml:lang="it">
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it" label="Unit">V</id>
            </unitOverride>
          </eval>
          <resultFormat xml:lang="it">
            <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
          </resultFormat>
        </math>
      </region>
    </regions>
  </solveblock>
</region>