Esempio: trasformazione inversa idft

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Esempio: trasformazione inversa idft

Poiché la funzione idft è la trasformata inversa di dft, ci si aspetta che ripristini l'input dei dati originali nella trasformata complessa.

Utilizzo di vettori (1D)

1. Definire la lunghezza del vettore v.

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<region id="ID0ENO5HB" top="192.00000000000003" left="134.40000000000003" xml:lang="it" actualWidth="98.453333333333347" actualHeight="25.6" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="208" xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
      <range xml:lang="it">
        <real xml:lang="it">0</real>
        <apply xml:lang="it">
          <minus xml:lang="it" />
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
          <real xml:lang="it">1</real>
        </apply>
      </range>
    </define>
    <resultFormat xml:lang="it">
      <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" xml:lang="it" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

2. Utilizzare la funzione exp per definire e valutare vettore v.

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<region id="ID0EMQ5HB" top="307.20000000000005" left="38.400000000000006" xml:lang="it" actualWidth="265.80333333333328" actualHeight="100" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="210" xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <indexer xml:lang="it" />
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it">v</id>
        <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
      </apply>
      <eval xml:lang="it">
        <apply xml:lang="it">
          <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">exp</id>
          <apply xml:lang="it">
            <mult xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <mult xml:lang="it" />
              <imag symbol="j" xml:lang="it">1</imag>
              <apply xml:lang="it">
                <div xml:lang="it" />
                <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">π</id>
                <real xml:lang="it">3</real>
              </apply>
            </apply>
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
          </apply>
        </apply>
        <unitOverride xml:lang="it">
          <placeholder xml:lang="it" />
        </unitOverride>
      </eval>
    </define>
    <resultFormat xml:lang="it">
      <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" xml:lang="it" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

3. Utilizzare la funzione dft per calcolare la trasformata diretta del vettore v.

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4. Utilizzare la funzione idft per calcolare la trasformata inversa del vettore v.

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5. Mostrare che la trasformata inversa della trasformata diretta del vettore v è il vettore originale v.

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Utilizzo di matrici (2D)

1. Definire e valutare la matrice C.

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<region id="ID0E415HB" top="960.00000000000011" left="134.40000000000003" xml:lang="it" actualWidth="91.576666666666668" actualHeight="25.6" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="222" xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">n</id>
      <range xml:lang="it">
        <real xml:lang="it">0</real>
        <apply xml:lang="it">
          <minus xml:lang="it" />
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">N</id>
          <real xml:lang="it">1</real>
        </apply>
      </range>
    </define>
    <resultFormat xml:lang="it">
      <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" xml:lang="it" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

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2. Utilizzare la funzione dft per calcolare la trasformata diretta della matrice C.

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3. Utilizzare la funzione idft per calcolare la trasformata inversa della matrice C.

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4. Mostrare che la trasformata inversa della trasformata diretta della matrice C è la matrice originale C.

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Dimostrazione della somma sottostante alla base di idft

Studio unidimensionale

1. Utilizzare la funzione exp e l'operatore di somma per calcolare la trasformata inversa del vettore v.

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<region id="ID0E4G6HB" top="1785.6000000000004" left="38.400000000000006" xml:lang="it" actualWidth="136.69666666666666" actualHeight="47.2" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="238" xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <indexer xml:lang="it" />
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it">ω</id>
        <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">M</id>
      </apply>
      <apply xml:lang="it">
        <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">exp</id>
        <apply xml:lang="it">
          <div xml:lang="it" />
          <apply xml:lang="it">
            <mult xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <mult xml:lang="it" />
              <real xml:lang="it">2</real>
              <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="it">π</id>
            </apply>
            <imag symbol="i" xml:lang="it">1</imag>
          </apply>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
        </apply>
      </apply>
    </define>
  </math>
</region>

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<region id="ID0EPH6HB" top="1843.2000000000003" left="38.400000000000006" xml:lang="it" actualWidth="155.60999999999999" actualHeight="50.000000000000007" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="240" xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <indexer xml:lang="it" />
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it">z</id>
        <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
      </apply>
      <apply xml:lang="it">
        <summation xml:lang="it" />
        <lambda xml:lang="it">
          <boundVars xml:lang="it">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
          </boundVars>
          <parens xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <mult xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <indexer xml:lang="it" />
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">v</id>
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
              </apply>
              <apply xml:lang="it">
                <pow xml:lang="it" />
                <apply xml:lang="it">
                  <indexer xml:lang="it" />
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">ω</id>
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
                </apply>
                <apply xml:lang="it">
                  <mult xml:lang="it" />
                  <apply xml:lang="it">
                    <neg xml:lang="it" />
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
                  </apply>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </parens>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="it">
          <real xml:lang="it">0</real>
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="it">
          <apply xml:lang="it">
            <minus xml:lang="it" />
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
            <real xml:lang="it">1</real>
          </apply>
        </upperBound>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat xml:lang="it">
      <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" xml:lang="it" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

2. Confrontare la trasformata diretta risultante del vettore v con l'output della funzione dft.

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3. Utilizzare l'operatore di somma per calcolare la trasformata inversa del vettore v.

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<region id="ID0EBN6HB" top="2112.0000000000005" left="38.400000000000006" xml:lang="it" actualWidth="173.77666666666664" actualHeight="50.75866666666667" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="246" xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <indexer xml:lang="it" />
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it">r</id>
        <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
      </apply>
      <apply xml:lang="it">
        <scale xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <div xml:lang="it" />
          <real xml:lang="it">1</real>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
        </apply>
        <apply xml:lang="it">
          <summation xml:lang="it" />
          <lambda xml:lang="it">
            <boundVars xml:lang="it">
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
            </boundVars>
            <parens xml:lang="it">
              <apply xml:lang="it">
                <mult xml:lang="it" />
                <apply xml:lang="it">
                  <indexer xml:lang="it" />
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">v</id>
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
                </apply>
                <apply xml:lang="it">
                  <pow xml:lang="it" />
                  <apply xml:lang="it">
                    <indexer xml:lang="it" />
                    <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">ω</id>
                    <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
                  </apply>
                  <apply xml:lang="it">
                    <mult xml:lang="it" />
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
                    <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </parens>
          </lambda>
          <lowerBound xml:lang="it">
            <real xml:lang="it">0</real>
          </lowerBound>
          <upperBound xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <minus xml:lang="it" />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
              <real xml:lang="it">1</real>
            </apply>
          </upperBound>
        </apply>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat xml:lang="it">
      <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" xml:lang="it" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

4. Confrontare la trasformata inversa risultante del vettore v con l'output della funzione idft.

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I risultati sono identici.

Studio bidimensionale

1. Utilizzare la funzione exp e l'operatore di somma per calcolare la trasformata diretta della matrice C.

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<region id="ID0ECT6HB" top="2419.2000000000003" left="38.400000000000006" xml:lang="it" actualWidth="135.11" actualHeight="47.2" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="252" xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <indexer xml:lang="it" />
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it">ω</id>
        <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">N</id>
      </apply>
      <apply xml:lang="it">
        <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">exp</id>
        <apply xml:lang="it">
          <div xml:lang="it" />
          <apply xml:lang="it">
            <mult xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <mult xml:lang="it" />
              <real xml:lang="it">2</real>
              <id labels="CONSTANT" xml:space="preserve" xml:lang="it">π</id>
            </apply>
            <imag symbol="i" xml:lang="it">1</imag>
          </apply>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">N</id>
        </apply>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat xml:lang="it">
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

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<region id="ID0EUT6HB" top="2476.8" left="38.400000000000006" xml:lang="it" actualWidth="269.42666666666673" actualHeight="50.000000000000007" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="254" xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <indexer xml:lang="it" />
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it">Z</id>
        <sequence xml:lang="it">
          <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
          <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">n</id>
        </sequence>
      </apply>
      <apply xml:lang="it">
        <summation xml:lang="it" />
        <lambda xml:lang="it">
          <boundVars xml:lang="it">
            <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
          </boundVars>
          <apply xml:lang="it">
            <summation xml:lang="it" />
            <lambda xml:lang="it">
              <boundVars xml:lang="it">
                <id xml:space="preserve" xml:lang="it">q</id>
              </boundVars>
              <parens xml:lang="it">
                <apply xml:lang="it">
                  <mult xml:lang="it" />
                  <apply xml:lang="it">
                    <mult xml:lang="it" />
                    <apply xml:lang="it">
                      <indexer xml:lang="it" />
                      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">C</id>
                      <sequence xml:lang="it">
                        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
                        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">q</id>
                      </sequence>
                    </apply>
                    <apply xml:lang="it">
                      <pow xml:lang="it" />
                      <apply xml:lang="it">
                        <indexer xml:lang="it" />
                        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">ω</id>
                        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
                      </apply>
                      <apply xml:lang="it">
                        <mult xml:lang="it" />
                        <apply xml:lang="it">
                          <neg xml:lang="it" />
                          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
                        </apply>
                        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply xml:lang="it">
                    <pow xml:lang="it" />
                    <apply xml:lang="it">
                      <indexer xml:lang="it" />
                      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">ω</id>
                      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">N</id>
                    </apply>
                    <apply xml:lang="it">
                      <mult xml:lang="it" />
                      <apply xml:lang="it">
                        <neg xml:lang="it" />
                        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">n</id>
                      </apply>
                      <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </parens>
            </lambda>
            <lowerBound xml:lang="it">
              <real xml:lang="it">0</real>
            </lowerBound>
            <upperBound xml:lang="it">
              <apply xml:lang="it">
                <minus xml:lang="it" />
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">N</id>
                <real xml:lang="it">1</real>
              </apply>
            </upperBound>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound xml:lang="it">
          <real xml:lang="it">0</real>
        </lowerBound>
        <upperBound xml:lang="it">
          <apply xml:lang="it">
            <minus xml:lang="it" />
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
            <real xml:lang="it">1</real>
          </apply>
        </upperBound>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat xml:lang="it">
      <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" xml:lang="it" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

2. Confrontare la trasformata diretta risultante della matrice C con l'output della funzione dft.

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I risultati sono identici.

3. Utilizzare l'operatore di somma per calcolare la trasformata inversa della matrice C.

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<region id="ID0EEY6HB" top="2918.4000000000005" left="38.400000000000006" xml:lang="it" actualWidth="303.16333333333336" actualHeight="50.75866666666667" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="260" xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <indexer xml:lang="it" />
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it">R</id>
        <sequence xml:lang="it">
          <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
          <id labels="*" xml:space="preserve" xml:lang="it">n</id>
        </sequence>
      </apply>
      <apply xml:lang="it">
        <scale xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <div xml:lang="it" />
          <real xml:lang="it">1</real>
          <apply xml:lang="it">
            <mult xml:lang="it" />
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">N</id>
          </apply>
        </apply>
        <apply xml:lang="it">
          <summation xml:lang="it" />
          <lambda xml:lang="it">
            <boundVars xml:lang="it">
              <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
            </boundVars>
            <apply xml:lang="it">
              <summation xml:lang="it" />
              <lambda xml:lang="it">
                <boundVars xml:lang="it">
                  <id xml:space="preserve" xml:lang="it">q</id>
                </boundVars>
                <parens xml:lang="it">
                  <apply xml:lang="it">
                    <mult xml:lang="it" />
                    <apply xml:lang="it">
                      <mult xml:lang="it" />
                      <apply xml:lang="it">
                        <indexer xml:lang="it" />
                        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">C</id>
                        <sequence xml:lang="it">
                          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
                          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">q</id>
                        </sequence>
                      </apply>
                      <apply xml:lang="it">
                        <pow xml:lang="it" />
                        <apply xml:lang="it">
                          <indexer xml:lang="it" />
                          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">ω</id>
                          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
                        </apply>
                        <apply xml:lang="it">
                          <mult xml:lang="it" />
                          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">m</id>
                          <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply xml:lang="it">
                      <pow xml:lang="it" />
                      <apply xml:lang="it">
                        <indexer xml:lang="it" />
                        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">ω</id>
                        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">N</id>
                      </apply>
                      <apply xml:lang="it">
                        <mult xml:lang="it" />
                        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">n</id>
                        <id xml:space="preserve" xml:lang="it">p</id>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </parens>
              </lambda>
              <lowerBound xml:lang="it">
                <real xml:lang="it">0</real>
              </lowerBound>
              <upperBound xml:lang="it">
                <apply xml:lang="it">
                  <minus xml:lang="it" />
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">N</id>
                  <real xml:lang="it">1</real>
                </apply>
              </upperBound>
            </apply>
          </lambda>
          <lowerBound xml:lang="it">
            <real xml:lang="it">0</real>
          </lowerBound>
          <upperBound xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <minus xml:lang="it" />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" xml:lang="it" label-is-contextual="true">M</id>
              <real xml:lang="it">1</real>
            </apply>
          </upperBound>
        </apply>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat xml:lang="it">
      <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" xml:lang="it" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" xml:lang="it" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

4. Confrontare la trasformata inversa risultante della matrice C con l'output della funzione idft.

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