Esempio: operazioni elementari sulle righe delle matrici

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Esempio: operazioni elementari sulle righe delle matrici

Eseguire tre tipi di operazioni elementari sulle righe di una matrice m x n e mostrare che esiste una connessione con la forma a scalini ridotta per righe.

1. Definire una matrice di input:

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2. Moltiplicare la riga r per uno scalare c:

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<region id="ID0E332LB" top="144" left="24" height="85.656" width="217.526666666667" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function xml:lang="it">
        <id xml:lang="it" label="Variable">e1</id>
        <boundVars xml:lang="it">
          <id xml:lang="it" label="Variable">A</id>
          <id xml:lang="it" label="Variable">c</id>
          <id xml:lang="it" label="Variable">r</id>
        </boundVars>
      </function>
      <program xml:lang="it">
        <localDefine xml:lang="it">
          <id xml:lang="it" label="Variable">B</id>
          <apply xml:lang="it">
            <transpose xml:lang="it" />
            <id xml:lang="it">A</id>
          </apply>
        </localDefine>
        <localDefine xml:lang="it">
          <apply xml:lang="it">
            <matcol xml:lang="it" />
            <id xml:lang="it" label="Variable">B</id>
            <id xml:lang="it" label="Variable">r</id>
          </apply>
          <apply xml:lang="it">
            <mult xml:lang="it" />
            <id xml:lang="it">c</id>
            <apply xml:lang="it">
              <matcol xml:lang="it" />
              <parens xml:lang="it">
                <apply xml:lang="it">
                  <transpose xml:lang="it" />
                  <id xml:lang="it">A</id>
                </apply>
              </parens>
              <id xml:lang="it">r</id>
            </apply>
          </apply>
        </localDefine>
        <apply xml:lang="it">
          <transpose xml:lang="it" />
          <id xml:lang="it">B</id>
        </apply>
      </program>
    </define>
  </math>
</region>

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3. Sostituire la riga r con la riga r più la riga s moltiplicata per c:

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<region id="ID0EX62LB" top="360" left="24" height="85.656" width="291.823333333333" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function xml:lang="it">
        <id xml:lang="it" label="Variable">e2</id>
        <boundVars xml:lang="it">
          <id xml:lang="it" label="Variable">A</id>
          <id xml:lang="it" label="Variable">c</id>
          <id xml:lang="it" label="Variable">r</id>
          <id xml:lang="it" label="Variable">s</id>
        </boundVars>
      </function>
      <program xml:lang="it">
        <localDefine xml:lang="it">
          <id xml:lang="it" label="Variable">B</id>
          <apply xml:lang="it">
            <transpose xml:lang="it" />
            <id xml:lang="it">A</id>
          </apply>
        </localDefine>
        <localDefine xml:lang="it">
          <apply xml:lang="it">
            <matcol xml:lang="it" />
            <id xml:lang="it" label="Variable">B</id>
            <id xml:lang="it" label="Variable">r</id>
          </apply>
          <apply xml:lang="it">
            <plus xml:lang="it" />
            <apply xml:lang="it">
              <matcol xml:lang="it" />
              <parens xml:lang="it">
                <apply xml:lang="it">
                  <transpose xml:lang="it" />
                  <id xml:lang="it">A</id>
                </apply>
              </parens>
              <id xml:lang="it">r</id>
            </apply>
            <apply xml:lang="it">
              <mult xml:lang="it" />
              <id xml:lang="it">c</id>
              <apply xml:lang="it">
                <matcol xml:lang="it" />
                <parens xml:lang="it">
                  <apply xml:lang="it">
                    <transpose xml:lang="it" />
                    <id xml:lang="it">A</id>
                  </apply>
                </parens>
                <id xml:lang="it">s</id>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </localDefine>
        <apply xml:lang="it">
          <transpose xml:lang="it" />
          <id xml:lang="it">B</id>
        </apply>
      </program>
    </define>
  </math>
</region>

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4. Scambiare le righe r e s:

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<region id="ID0EIC3LB" top="552" left="24" height="114.808" width="200.72" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math xml:lang="it">
    <define xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function xml:lang="it">
        <id xml:lang="it" label="Variable">e3</id>
        <boundVars xml:lang="it">
          <id xml:lang="it" label="Variable">A</id>
          <id xml:lang="it" label="Variable">r</id>
          <id xml:lang="it" label="Variable">s</id>
        </boundVars>
      </function>
      <program xml:lang="it">
        <localDefine xml:lang="it">
          <id xml:lang="it" label="Variable">B</id>
          <apply xml:lang="it">
            <transpose xml:lang="it" />
            <id xml:lang="it">A</id>
          </apply>
        </localDefine>
        <localDefine xml:lang="it">
          <apply xml:lang="it">
            <matcol xml:lang="it" />
            <id xml:lang="it" label="Variable">B</id>
            <id xml:lang="it" label="Variable">s</id>
          </apply>
          <apply xml:lang="it">
            <matcol xml:lang="it" />
            <parens xml:lang="it">
              <apply xml:lang="it">
                <transpose xml:lang="it" />
                <id xml:lang="it">A</id>
              </apply>
            </parens>
            <id xml:lang="it">r</id>
          </apply>
        </localDefine>
        <localDefine xml:lang="it">
          <apply xml:lang="it">
            <matcol xml:lang="it" />
            <id xml:lang="it" label="Variable">B</id>
            <id xml:lang="it" label="Variable">r</id>
          </apply>
          <apply xml:lang="it">
            <matcol xml:lang="it" />
            <parens xml:lang="it">
              <apply xml:lang="it">
                <transpose xml:lang="it" />
                <id xml:lang="it">A</id>
              </apply>
            </parens>
            <id xml:lang="it">s</id>
          </apply>
        </localDefine>
        <apply xml:lang="it">
          <transpose xml:lang="it" />
          <id xml:lang="it">B</id>
        </apply>
      </program>
    </define>
  </math>
</region>

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Forma a scalini ridotta per righe (rref) di una matrice

La forma a scalini ridotta per righe è una tecnica importante per la soluzione di un sistema di equazioni lineari.

Utilizzare la seguente sequenza di operazioni e1, e2 e e3 per trovare la forma a scalini ridotta per righe (rref) della matrice A:

1. Definire la matrice A:

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2. Utilizzare e2 per sostituire la riga 0 di A con la riga 0 più la riga 1 moltiplicata per (-2):

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<region id="ID0EVI3LB" top="912" left="24" height="36.552" width="225.99" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="50" xml:lang="it">
    <eval xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <plus xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <matrow xml:lang="it" />
          <id xml:lang="it">A</id>
          <real xml:lang="it">0</real>
        </apply>
        <apply xml:lang="it">
          <scale xml:lang="it" />
          <parens xml:lang="it">
            <real xml:lang="it">-2</real>
          </parens>
          <parens xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <matrow xml:lang="it" />
              <id xml:lang="it">A</id>
              <real xml:lang="it">1</real>
            </apply>
          </parens>
        </apply>
      </apply>
      <unitOverride xml:lang="it">
        <placeholder xml:lang="it" />
      </unitOverride>
    </eval>
  </math>
</region>

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3. Utilizzare e2 per sostituire la riga 2 di A1 con la riga 2 più la riga 1 moltiplicata per (-2):

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<region id="ID0EMM3LB" top="1032" left="24" height="36.552" width="252.7" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="52" xml:lang="it">
    <eval xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <plus xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <matrow xml:lang="it" />
          <id xml:lang="it">A1</id>
          <real xml:lang="it">2</real>
        </apply>
        <apply xml:lang="it">
          <scale xml:lang="it" />
          <parens xml:lang="it">
            <real xml:lang="it">-2</real>
          </parens>
          <parens xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <matrow xml:lang="it" />
              <id xml:lang="it">A1</id>
              <real xml:lang="it">1</real>
            </apply>
          </parens>
        </apply>
      </apply>
      <unitOverride xml:lang="it">
        <placeholder xml:lang="it" />
      </unitOverride>
    </eval>
  </math>
</region>

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4. Utilizzare e1 per moltiplicare la riga 2 di A2 per (-1/2):

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5. Utilizzare e2 per sostituire la riga 1 di A3 con la riga 1 più la riga 2 moltiplicata per (-4):

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<region id="ID0EQT3LB" top="1344" left="24" height="36.552" width="249.93" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="56" xml:lang="it">
    <eval xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <plus xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <matrow xml:lang="it" />
          <id xml:lang="it">A3</id>
          <real xml:lang="it">1</real>
        </apply>
        <apply xml:lang="it">
          <scale xml:lang="it" />
          <parens xml:lang="it">
            <real xml:lang="it">-4</real>
          </parens>
          <parens xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <matrow xml:lang="it" />
              <id xml:lang="it">A3</id>
              <real xml:lang="it">2</real>
            </apply>
          </parens>
        </apply>
      </apply>
      <unitOverride xml:lang="it">
        <placeholder xml:lang="it" />
      </unitOverride>
    </eval>
  </math>
</region>

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6. Utilizzare e2 per sostituire la riga 0 di A4 con la riga 0 più la riga 2 moltiplicata per (9):

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<region id="ID0EHX3LB" top="1536" left="24" height="36.552" width="263.88" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="58" xml:lang="it">
    <eval xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <plus xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <matrow xml:lang="it" />
          <id xml:lang="it">A4</id>
          <real xml:lang="it">0</real>
        </apply>
        <apply xml:lang="it">
          <scale xml:lang="it" />
          <parens xml:lang="it">
            <real xml:lang="it">9</real>
          </parens>
          <parens xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <matrow xml:lang="it" />
              <id xml:lang="it">A4</id>
              <real xml:lang="it">2</real>
            </apply>
          </parens>
        </apply>
      </apply>
      <unitOverride xml:lang="it">
        <placeholder xml:lang="it" />
      </unitOverride>
    </eval>
  </math>
</region>

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7. Utilizzare e1 per moltiplicare la riga 0 di A5 per 2/15:

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8. Utilizzare e2 per sostituire la riga 1 di A6 con la riga 1 più la riga 0 moltiplicata per (2):

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<region id="ID0EL53LB" top="1920" left="24" height="36.552" width="248.76" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="62" xml:lang="it">
    <eval xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <plus xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <matrow xml:lang="it" />
          <id xml:lang="it">A6</id>
          <real xml:lang="it">1</real>
        </apply>
        <apply xml:lang="it">
          <scale xml:lang="it" />
          <parens xml:lang="it">
            <real xml:lang="it">2</real>
          </parens>
          <parens xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <matrow xml:lang="it" />
              <id xml:lang="it">A6</id>
              <real xml:lang="it">0</real>
            </apply>
          </parens>
        </apply>
      </apply>
      <unitOverride xml:lang="it">
        <placeholder xml:lang="it" />
      </unitOverride>
    </eval>
  </math>
</region>

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9. Utilizzare e2 per sostituire la riga 2 di A7 con la riga 2 più la riga 0 moltiplicata per (-1/2):

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<region id="ID0ECC4LB" top="2064" left="24" height="48.5106666666667" width="275.133333333333" xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="64" xml:lang="it">
    <eval xml:lang="it" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply xml:lang="it">
        <plus xml:lang="it" />
        <apply xml:lang="it">
          <matrow xml:lang="it" />
          <id xml:lang="it">A7</id>
          <real xml:lang="it">2</real>
        </apply>
        <apply xml:lang="it">
          <scale xml:lang="it" />
          <parens xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <neg xml:lang="it" />
              <apply xml:lang="it">
                <div xml:lang="it" />
                <real xml:lang="it">1</real>
                <real xml:lang="it">2</real>
              </apply>
            </apply>
          </parens>
          <parens xml:lang="it">
            <apply xml:lang="it">
              <matrow xml:lang="it" />
              <id xml:lang="it">A7</id>
              <real xml:lang="it">0</real>
            </apply>
          </parens>
        </apply>
      </apply>
      <unitOverride xml:lang="it">
        <placeholder xml:lang="it" />
      </unitOverride>
    </eval>
  </math>
</region>

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10. Utilizzare e3 per scambiare le righe 0 e 1 di A8:

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11. Utilizzare e3 per scambiare le righe 1 e 2 di A9:

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In questo esempio, la sequenza precedente di operazioni elementari sulle righe restituisce la forma a scalini ridotta per righe della matrice A.

12. Utilizzare la funzione rref per trovare la forma a scalini ridotta per righe della matrice A.

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La matrice restituita è identica alla matrice A10.