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Transformée de Fourier discrète de données
dft(A), idft(Z) : renvoie la transformée de Fourier ascendante/inverse de vecteurs ou matrices à valeurs complexes.
Si l'entrée de dft est un vecteur V de longueur r, alors :
La sortie de dft(V) est un vecteur Z de longueur r.
La sortie de idft(Z) est un vecteur de longueur r.
Si l'entrée de dft est une matrice M de r lignes et c colonnes, alors :
La sortie de dft(M) est une matrice P de r lignes et c colonnes.
La sortie de idft(P) est une matrice de r lignes et c colonnes.
dftr(B), idftr(Z) : renvoie la transformée de Fourier ascendante/inverse de vecteurs ou matrices à valeurs réelles.
Si l'entrée de dftr est un vecteur V de longueur r, alors :
La sortie de dftr(V) est un vecteur Z de longueur L, où L=floor(r/2)+1. Les éléments de Z sont identiques aux premiers éléments L de la sortie de dft(V).
La sortie de idftr(Z) est un vecteur de longueur r=2(L-1).
Si l'entrée de dftr est une matrice M de r lignes et c colonnes, alors :
La sortie de dftr(M) est une matrice P de r lignes et L colonnes, où L=floor(c/2)+1. Les éléments de P sont identiques aux premières colonnes L de la sortie de dft(M).
La sortie de idftr(P) est une matrice de r lignes et c=2(L-1) colonnes.
Arguments
A est un vecteur ou une matrice à valeurs complexes de n'importe quelle taille.
B est un vecteur ou une matrice à valeurs réelles. Les parties imaginaires sont ignorées. Si B est un vecteur, alors le nombre de lignes doit être un multiple de 2. Si B est une matrice, alors le nombre de colonnes doit être un multiple de 2.
Pour A comme pour B, les unités des données doivent être compatibles.
Transformée de Fourier de vecteurs
Si A est un vecteur de taille m, alors le ue élément de la transformée ascendante à une dimension (1D) du vecteur A est obtenu par Zu de la manière suivante :
Où :
m est le nombre de lignes et u est défini comme :
i est l'unité imaginaire et wm est défini comme :
L'évaluation de Z dans la définition ci-dessus équivaut à appliquer la fonction dft au vecteur A.
Si Z est un vecteur de taille m, alors le ue élément de la transformée inverse à une dimension (1D) du vecteur Z est obtenu par Au de la manière suivante :
Où :
m, u et wm sont définis ci-dessus.
L'évaluation de A dans la définition ci-dessus équivaut à appliquer la fonction idft au vecteur Z.
Transformée de Fourier de matrices
Si A est une matrice de taille mxn, alors le (u,v)e élément de la transformée ascendante à deux dimensions (2D) de la matrice A est obtenu par Zu,v de la manière suivante :
Où :
m, u et wm sont définis ci-dessus.
n est le nombre de colonnes et v est défini comme :
i est l'unité imaginaire et wn est défini comme :
L'évaluation de Z dans la définition ci-dessus équivaut à appliquer la fonction dft à la matrice A.
Si Z est une matrice de taille mxn, alors le (u,v)e élément de la transformée inverse à deux dimensions (2D) de la matrice A est obtenu par Au,v de la manière suivante :
Où :
m, n, u, v, wm et wn sont définis ci-dessus.
L'évaluation de A dans la définition ci-dessus équivaut à appliquer la fonction idft à la matrice Z.
Informations supplémentaires
Les fonctions Fourier s'exécutent plus rapidement lorsque le nombre de lignes de vecteurs et de colonnes de matrices est une puissance de deux.
Les nouvelles fonctions dft/idft remplacent les fonctions obsolètes cfft/icfft et CFFT/ICFFT. Elles offrent de meilleures performances, notamment lorsque les jeux de données sont volumineux et lorsque la taille n'est pas une puissance de deux.
Les nouvelles fonctions dftr/idftr remplacent les fonctions obsolètes fft/ifft et FFT/IFFT.
La fonction dftr traite les vecteurs réels dont la longueur est un nombre pair et les matrices avec un nombre pair de colonnes.
Les fonctions fft/FFT traitent uniquement les vecteurs réels dont la longueur est une puissance de deux.
Les fonctions ifft/IFFT ont seulement la moitié de la longueur du vecteur d'entrée plus un, ou 2k-1+1, où k est un entier > 1. L'autre moitié, qui représente la partie conjuguée de la première partie dans l'ordre inverse, doit être reconstruite manuellement. Les fonctions dft/idft renvoient le résultat total.
Les fonctions dft/idft diffèrent de fft/ifft, FFT/IFFT et cfft/icfft, CFFT/ICFFT à la fois au niveau du facteur d'échelle que du signe de l'exposant.
Pour les transformées ascendantes, les différences sont les suivantes :
dft/dftr
fft/cfft
FFT/CFFT
Facteur d'échelle
1
1/√m√n
1/m.n
Signe de l'exposant
Négatif
Positif
Négatif
Pour les transformées inverses, les différences sont les suivantes :
idft/idftr
ifft/icfft
IFFT/ICFFT
Facteur d'échelle
1/m.n
1/√m√n
1
Signe de l'exposant
Positif
Négatif
Positif
Lors du calcul du facteur d'échelle pour les fonctions portant sur des vecteurs seulement (cas 1D), partez du principe que n=1.