Lösungsalgorithmen für Differentialgleichungen

Löser für gewöhnliche Differentialgleichungen (GDG) lösen eine Gleichung oder ein Gleichungssystem für unbekannte Funktionen einer Variablen. Löser für partielle Differentialgleichungen (PDG) lösen Gleichungen für Funktionen zweier Variablen (1D-PDGs).

Um eine GDG direkt ohne Erstellen eines Lösungsblocks aufzulösen, verwenden Sie einen der GDG-Löser, die GDG-Systeme der folgenden Form lösen:

wobei y der Vektor der unbekannten Funktionen der unabhängigen Variable x ist. Um eine GDG höherer Ordnung zu lösen, formen Sie sie in ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung um.

Bei den GDG-Lösern lassen sich zwei Kategorien unterscheiden: Löser für steife Systeme und Löser für nicht-steife Systeme. Ein System aus GDGs, das in Matrixform als y’ = Ay dargestellt ist, wird steif genannt, wenn die Matrix A nahezu singulär ist. Andernfalls ist das System nicht-steif.

• rkfixed, Rkadapt, Bulstoer – Runge-Kutta-Verfahren (4. Ordnung) mit fester und adaptiver Schrittweite und Bulstör-Verfahren für leicht veränderliche GDGs

• Radau, Stiffb, Stiffr – RADAU-, Bulirsch-Stoer- und Rosenbrock-Verfahren für steife Systeme

• AdamsBDF – Bestimmt, ob ein System steif oder nicht-steif ist und ruft entsprechend BDF oder Adams auf.

• bvalfit, sbval – Randwertprobleme, bei denen nicht alle Anfangsbedingungen bekannt sind, durch Linearisierung zu Anfangswertproblemen umgewandelt

Außerdem ist eine Vielzahl von Polynomgeneratoren und hypergeometrischen Funktionen zur Lösung spezieller, häufig vorkommender GDGs vorhanden.

• numol – Lösungsalgorithmus mit Befehlszeile für Gleichungssysteme aus hyperbolischen und parabolischen 1D-PDGs, wozu auch verknüpfte GDGs und algebraische Nebenbedingungen gehören

• relax, multigrid – Befehlszeilen-Lösungsalgorithmus für elliptische Poisson/Laplace-PDGs

Die Problemlöser numol und multigrid sind nicht austauschbar, da sie unterschiedliche physikalische Phänomene und räumliche Dimensionen bearbeiten.

• numol ist für die Lösung transienter, eindimensionaler, hyperbolischer und parabolischer Teildifferentialgleichungen (Funktionen von x,t) vorgesehen.

• multigrid ist für die Lösung stationärer elliptischer 2D-Teildifferentialgleichungen (Funktionen von x,y) über ein Quadrat vorgesehen.

• Jacob – Gibt die Jacobi-Matrix eines Vektors zurück.