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包括突弹跳变
突弹跳变行为是结构位移中一种不稳定的行为。位移从一种配置跳变为另一种配置,甚至不会增大外部载荷。
急速恢复行为是结构位移中一种不稳定的行为,在此期间位移从一种配置跳变为另一种配置,甚至不会增大规定位移。
对于大多数非线性分析而言,牛顿型方法 (载荷控制方法) 用于在每一步中沿力-偏转曲线收敛到解。每个子步中载荷会按有限量增大,并且整个平衡迭代中载荷将保持固定。如果出现突弹跳变 (在载荷控制下),则一个极点可能存在两个解。载荷增大时,位移可能出现跳变,分析也可能因跳变大小而不收敛。同样,对于位移控制方法而言,载荷出现跳变时,也可能出现不收敛。
下图显示了非线性分析的载荷位移曲线,其中 λ 为所施加的载荷,μ 为位移。
1. o-a-d:突弹跳变 (在载荷控制下)
2. o-a-b-c:突弹跳变 (在位移控制下)
在本示例中,采用的是载荷控制方法,分析在点 a 之后收敛失败,或会追踪路径 o-a-d,进而提供不完整或错误的结构稳定性信息。同样,对于位移控制方法而言,分析也可能在点 b 后收敛失败,并形成路径 o-a-b-c
在载荷控制方法中,载荷步长保持恒定;在位移控制方法中,位移步长保持恒定。但在弧长法算法中,每次迭代时都用不同的因子代替载荷因子,以便解可以遵循指定的路径,直到实现收敛。该方法会记录平衡路径的附加载荷和位移对。
关于非线性分析中的弧长方法
对非线性平衡方程组的求解路径进行全面调查,将对研究结构的整体临界行为具有很大的现实意义。使用常规路径跟踪的方法被称为弧长方法。此类方法的基本思路是:为可确定未知载荷参数的非线性方程组添加约束条件。由于路径跟踪方法已日趋完善,因此文献上提供了多种不同方法。在众多现有的增量迭代非线性求解方法中,由 Riks 于 1979 年提出的弧长法 (后经 Crisfield 于 1981 年进行了修正) 是使用最广泛的方法。Creo Simulate 使用 Crisfield 弧长方法。
对于简单的结构,只需找出限制点 (在此限制点处,结构将不会再承受更多的载荷,且即将发生破坏) 处的载荷级别。破坏载荷通常会导致迭代求解过程无法收敛。对于其他模型,可能需要对结构的各个元件进行分析并获取有关响应性质、后限制点的信息 (参见图 1)。这样,当通过不稳定区域 (如图 2 所示) 时,便可了解整个结构的性能和稳定性,并将深入了解结构的行为。
图 1
1. 限制点
2. F - 载荷
3. u - 位移
图 2
1. 接下来是哪一个点?
2. F - 载荷
3. u - 位移
Crisfield 的球面弧长方法
Crisfield (1981) 在他的弧长方法中使用了超球面。在迭代过程中,同时使用了此方法与经过修正的 Newton-Raphson (m.N-R) 方法。在此方法中,每次迭代都不会重新生成和重新构建相切刚度矩阵,而是会保持固定不变,只有在每次增加载荷的开始阶段才会生成和构建相切刚度矩阵。图 4 定性说明了适用于求解一维问题的 Crisfield 方法和 m.N-R 方法。
图 4
1. 超球面
2. 平衡迭代
3. F - 外力
4. u - 位移
当从“收敛”(Convergence) 选项卡中选择“包括突弹跳变”(Include Snap-through) 时,将激活 Crisfield 的球面弧长方法,该方法可精确跟踪突弹跳变和急速恢复结构中的“载荷-位移”曲线。
对于大变形分析,如果为收敛方法选择“单通道自适应”(Single-Pass Adaptive)“快速检查”(Quick Check),则可选择“包括突弹跳变”(Include Snap-through) 来激活弧长算法。现在即可获取突弹跳变或后失稳问题的载荷位移历史记录。只能在必要的时候选择此选项,因为此选项会涉及附加的计算成本。
对于突弹跳变或后失稳分析,Creo Simulate 会在摘要 .rpt 文件中记录突弹跳变的起始位置和结束位置。
要进一步调查输出,还可以使用以下配置选项
sim_newton_debugprint - 将此选项的值设置为 yes,可将 mN-R 方法和弧长方法的详细调试信息打印到 .pas 文件中。
sim_nl_ldc - 当设置为 .ldc 时,可将载荷挠度曲线打印到 yes 文件中。
.ldc 文件是一个文本文件,其中包含以逗号分隔的值。.ldc 文件具有三列,用于为每个输出时间步长的三个量进行计算。
对于以下有限元方程组:
K.dx=df
X=X+dx
F=F+df
L2=SQRT(X.X)
SF=SQRT(dx.dx)/SQRT(X.X)
其中:
K - 切向刚度矩阵
dx - 给定载荷步长的变形矢量
df - 载荷增量
X - 总变形矢量
F - 总载荷矢量
LF - 载荷因子
L2 - 总变形的范数
SF - 跳变因子
对于 .ldc 文件:
第一列:LF - 载荷因子
第二列:L2=SQRT(X.X) - 模型中观察到的总变形的范数
第三列:跳变因子 SF=SQRT(dx.dx)/SQRT(X.X) - 较大的跳变因子表示突弹跳变分析失败的风险较大。
如果 .ldc 文件中第三列 (跳变因子 SF) 的值 > 0.95,则模型需要进行突弹跳变分析。在这种情况下,必须在“收敛”(Convergence) 选项卡上选择“包括突弹跳变”(Include Snap-through),然后运行分析。
sim_snap_tolerance_factor - 确定是否启动或延迟突弹跳变。如果将此选项的值设置为大于 1,将延迟突弹跳变。要更早启动突弹跳变,请将此选项的值设置为小于 1。
通过查看要在结果中查看突弹跳变中所述的位移测量与所施加载荷的图形,可以查看突弹跳变或失稳分析的载荷位移曲线。
选择最佳分析方法准则
如文献中所预期的那样,当结构在“载荷-挠度”路径的短长度上振荡时 (介于稳定平衡与不稳定平衡之间),弧长方法的表现最差。当弧长方法收敛至限制点时,您会开始注意到结构破坏错误。理论上,这类限制点处的结构刚度要么为零,要么为无限大,进而会导致数值失败。通常,当解收敛至限制点时,值得尝试不同的输出步长以确保您不会意外在限制点附近放置步长。布置输出步长时尽可能避免此类限制点,或将您的输出步长设置得较大些以避免出现限制点。对于短长度跳跃现象,默认的 m.N-R 方法经证实会比弧长方法更可靠。采用默认的 m.N-R 方法与合理的精细步长进行模拟,可以更深入地了解此类情况。
采用 m.N-R 方法与 Crisfield 弧长方法,有助于求解同时涉及水平和竖直相切限制点的问题。当结构在“载荷-挠度”路径的短长度上振荡时 (介于稳定平衡与不稳定平衡之间),采用弧长方法的数值体验是很令人满意的。在此类模型中,收敛速度以及算法所选的步长是非常有效的。
对方法的选择,需要具备一些工程方面的知识。如果这两种方法均无法收敛,您可能需要查看模型、载荷或求解策略。
书目
1. E. Ricks, An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems. Int. J. Solids Structures 15,524-551 (1979).
2. Crisfield M.A. A fast incremental/iterative solution procedure that handles snap-through. Computer and Structures, 13(1):55–62, 1981
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