Пример. Быстрое преобразование Фурье

Функции > Обработка сигналов > Объединенный частотно-временной анализ > Пример. Быстрое преобразование Фурье

Функция stft используется для расчета оконного преобразования Фурье (STFT) сигнала, спектральные характеристики которого изменяются со временем.

Функция возвращает матрицу, столбцы которой содержат преобразование Фурье входного сигнала в моменты, разделенные выборками s. Для сигнала x(t) STFT определяется в непрерывном времени как:

где w(t) — скользящее вещественнозначное сужение окна, которое используется для локализации влияния преобразования поблизости от заданного времени.

Сигнал с двумя тонами

Следующий сигнал состоит из двух синусоид разных частот, возникающих в разное время.

1. Задайте компоненты сигнала.

2. Постройте график составного сигнала.

Щелкните для копирования этого выражения

<region id="ID0EJZA5" top="888" left="24" width="597" height="312" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace>
          <traceStyle color="#FFFF0000" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <axes>
        <xAxis legend-position="PlotBoundaryBottom" rank="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="5" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">m_range</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis legend-position="PlotBoundaryLeft" rank="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math>
                <id xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">v</id>
              </math>
              <math>
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

В STFT содержится информация о частотном спектре сигнала и времени, в котором частота присутствует.

3. Рассчитайте STFT со 100 частотными выборками, временным шагом 30 и окном Хэннинга.

Это матрица 100 x 56 (всего имеется 56 временных шагов размером 30 в сигнале длины L)

4. Рассчитайте квадрат величины.

5. Сохраните полученный контур в виде изображения в формате BMP.

(v_spec_rotated.bmp)

На данном изображении показаны не только две частоты, но также и время их возникновения. Однако данная спектрограмма страдает так называемым компромиссом локализации. Для получения временной локализации (когда STFT отмечает время активности синусоид) требуется короткое окно в интервале времени. Напротив, для хорошей частотной локализации необходимо долговременное окно. На этот компромисс также оказывает влияние тип используемого окна, рассматриваемый сигнал, время и частота.

6. В качестве иллюстрации рассчитайте STFT и спектрограмму того же вышеописанного сигнала, но используя длину частотного окна 300 вместо 100.

<region id="ID0EQBB5" top="1920" left="24" width="170.983333333333" height="33.835" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math>
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id label="Variable">V_nbspec</id>
      <apply>
        <vectorize />
        <parens>
          <apply>
            <mult />
            <parens>
              <apply>
                <vectorize />
                <apply>
                  <absval />
                  <id>V_nb</id>
                </apply>
              </apply>
            </parens>
            <parens>
              <apply>
                <vectorize />
                <apply>
                  <absval />
                  <id>V_nb</id>
                </apply>
              </apply>
            </parens>
          </apply>
        </parens>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

7. Сохраните полученный контур в виде изображения в формате BMP.

(v_nbspec_rotated.bmp)

STFT, рассчитанное с длинным окном, имеет лучшее частотное разрешение, но временное разрешение при этом ухудшилось. Данный компромисс время-частота можно обойти, используя другие функции времени-частоты, например timefreq и timecorr.

Пользовательское кадрирование

В данном примере частотное окно дополняется нулями до длины преобразования Фурье.

1. Задайте длину окна и процентную часть, занимаемую растущей косинусоидой.