Пример: Фильтры с импульсной характеристикой конечной длительности по обмену Remez

Функции > Обработка сигналов > Цифровая фильтрация > Пример: Фильтры с импульсной характеристикой конечной длительности по обмену Remez

Функция remez реализует алгоритм обмена Ремеза для конструкции фильтра с импульсной характеристикой конечной длительности.

Чтобы ознакомиться с основными проблемами использования алгоритма и примерами, см. книги Rabiner, Gold "Theory and Application of Digital Signal Processing" (Рабинер, Голд. Теория и практика обработки цифрового сигнала) (на английском языке) (издатель Prentice-Hall, Inc.) и Parks, Burrus "Digital Filter Design" (Паркс, Беррас. Создание цифрового фильтра) (на английском языке) (издательство Wiley-Interscience).

Фильтр нижних частот

1. Определите отклик 1 в полосе пропускания и 0 в полосе затухания и интерполируйте прямой переход между кромками полосы пропускания и полосы затухания.

Как правило, число точек в сетке частот должно быть в 8-10 раз больше длины фильтра, с частотами, которые начинаются с 0 и равномерно возрастают до 0.5. Определение отклика требует определения кромок полосы и весов, назначенных ошибкам в каждой полосе. Алгоритм минимизирует максимальную взвешенную ошибку по диапазону частот [0, 0.5].

2. Определите края полосы пропускания и полосы задерживания:

3. Определите веса полосы пропускания, полосы задерживания и полосы перехода:

4. Определите функцию, которая дает требуемый отклик, как функцию частоты. Расчет в каждой точке сетки позволяет построить вектор отклика.

5. Определите весовой вектор, который назначает вес каждой точке сетки для соответствующей полосы.

6. Используйте функции remez и length, чтобы вычислить коэффициенты фильтра:

<region id="ID0EPHX3" top="998.40000000000009" left="38.400000000000006" height="25.6" width="157.75333333333336" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="120">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="*" xml:space="preserve">F</id>
      <apply>
        <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">remez</id>
        <sequence>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">g</id>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">r</id>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">w</id>
          <real>17</real>
        </sequence>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,1" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

7. Используйте функцию gain, чтобы вычислить для этого нечетного по длине фильтра максимальные ошибки полосы пропускания и полосы задерживания, которые задаются усилением в точках 0 и 0.5:

8. Постройте график функции и ее частотной характеристики от 0 до .5.

Щелкните для копирования этого выражения

<region id="ID0EZMX3" top="1305.6000000000001" left="38.400000000000006" height="286.65330313300672" width="576.1454545454551" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="132">
          <traceStyle color="#FFED1D2F" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="133">
          <traceStyle color="#FF2E3192" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="456.945454545455" height="229.053303133007" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="0.5">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="60.93" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers>
            <marker resultRef="134" display="true" color="#FF068149" line-style="Dash" value="0.3">
              <id xml:space="preserve" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">pb</id>
            </marker>
            <marker resultRef="136" display="true" color="#FF068149" line-style="Dash" value="0.35">
              <id xml:space="preserve" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">sb</id>
            </marker>
          </markers>
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="138">
                <id xml:space="preserve" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">x</id>
              </math>
              <math resultRef="139">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="0" end="1.1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="95.2266666666667" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>12</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers>
            <marker resultRef="140" display="true" color="#FF662D91" line-style="Dash" value="0.90449723252954861">
              <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                <minus />
                <real>1</real>
                <id xml:space="preserve">δ1</id>
              </apply>
            </marker>
            <marker resultRef="142" display="true" color="#FF662D91" line-style="Dash" value="0.095974111725471309">
              <id xml:space="preserve" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">δ2</id>
            </marker>
          </markers>
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="144">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve">f</id>
                  <id xml:space="preserve">x</id>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="145">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math resultRef="146">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve">G1</id>
                  <id xml:space="preserve">x</id>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="147">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

Видимыми являются десять экстремальных частот, включая точку, где линия (1 - δ1) пересекает край полосы пропускания pb, и точку, где линия δ2 пересекает край полосы задерживания sb. Ошибка равномерно чередуется на экстремальных частотах каждой полосы. Чтобы увидеть пример, в котором две ошибки d неодинаковы, измените вес полосы затухания на 0.5 в приведенной выше спецификации фильтра.

Полосовой пропускающий фильтр

1. Определите функцию отклика, которая конструируется путем добавления функций для отклика в каждой полосе перехода и полосе пропускания.

<region id="ID0ELPX3" top="1843.2000000000003" left="38.400000000000006" height="25.6" width="815.4233333333334" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="158">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function>
        <id labels="*" xml:space="preserve">filter</id>
        <boundVars>
          <id labels="*" xml:space="preserve">x</id>
        </boundVars>
      </function>
      <apply>
        <plus />
        <apply>
          <plus />
          <apply>
            <id labels="KEYWORD" xml:space="preserve">if</id>
            <sequence>
              <apply>
                <mult />
                <parens>
                  <apply>
                    <greaterThan />
                    <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">x</id>
                    <real>.23</real>
                  </apply>
                </parens>
                <parens>
                  <apply>
                    <lessThan />
                    <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">x</id>
                    <real>.25</real>
                  </apply>
                </parens>
              </apply>
              <apply>
                <mult />
                <real>50</real>
                <parens>
                  <apply>
                    <minus />
                    <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">x</id>
                    <real>.23</real>
                  </apply>
                </parens>
              </apply>
              <real>0</real>
            </sequence>
          </apply>
          <apply>
            <id labels="KEYWORD" xml:space="preserve">if</id>
            <sequence>
              <apply>
                <mult />
                <parens>
                  <apply>
                    <greaterOrEqual />
                    <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">x</id>
                    <real>.25</real>
                  </apply>
                </parens>
                <parens>
                  <apply>
                    <lessOrEqual />
                    <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">x</id>
                    <real>.35</real>
                  </apply>
                </parens>
              </apply>
              <real>1</real>
              <real>0</real>
            </sequence>
          </apply>
        </apply>
        <apply>
          <id labels="KEYWORD" xml:space="preserve">if</id>
          <sequence>
            <apply>
              <mult />
              <parens>
                <apply>
                  <greaterThan />
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">x</id>
                  <real>.35</real>
                </apply>
              </parens>
              <parens>
                <apply>
                  <lessThan />
                  <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">x</id>
                  <real>.37</real>
                </apply>
              </parens>
            </apply>
            <apply>
              <minus />
              <real>1</real>
              <apply>
                <mult />
                <real>50</real>
                <parens>
                  <apply>
                    <minus />
                    <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">x</id>
                    <real>.35</real>
                  </apply>
                </parens>
              </apply>
            </apply>
            <real>0</real>
          </sequence>
        </apply>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,1" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

2. Примените функцию фильтра одновременно ко всей сетке, используя оператор умножения векторов. Веса являются равномерными.

<region id="ID0E2QX3" top="1939.2000000000003" left="38.400000000000006" height="51.2" width="121.41000000000001" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="160">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <apply>
        <indexer />
        <id labels="*" xml:space="preserve">R</id>
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">k</id>
      </apply>
      <apply>
        <vectorize />
        <apply>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">filter</id>
          <apply>
            <div />
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">k</id>
            <real>500</real>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,1" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

3. Создайте фильтр с 45 коэффициентами:

<region id="ID0EZSX3" top="2054.4" left="38.400000000000006" height="25.6" width="199.42333333333338" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="164">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="*" xml:space="preserve">Fband</id>
      <apply>
        <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">remez</id>
        <sequence>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">g</id>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">R</id>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">W</id>
          <real>45</real>
        </sequence>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="round-trip-decimal-places" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,1" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

4. Постройте график частотной характеристики фильтра:

<region id="ID0EFVX3" top="2208.0000000000005" left="38.400000000000006" height="216.00000000000003" width="576.29936781976733" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="170">
          <traceStyle color="#FF0000FF" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="171">
          <traceStyle color="#FFFF0000" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="437.899367819767" height="158.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="0.5">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="60.93" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers>
            <marker resultRef="172" display="true" color="#FF068149" line-style="Dot" value="0.25">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0.25</real>
            </marker>
            <marker resultRef="174" display="true" color="#FF068149" line-style="Dot" value="0.35">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0.35</real>
            </marker>
          </markers>
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="176">
                <id xml:space="preserve" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">x</id>
              </math>
              <math resultRef="177">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="0" end="1.25">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="112.106666666667" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>6</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="182">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve">filter</id>
                  <id xml:space="preserve">x</id>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="183">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math resultRef="184">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <id xml:space="preserve">G2</id>
                  <id xml:space="preserve">x</id>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="185">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="179">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0.25</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="181">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">1.25</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

Было ли это полезно?