Пример. Кепстр и комплексный кепстр
Используйте функции cepstrum и ccepstrum для вычисления кепстра и комплексного кепстра многоканального сигнала с действительными значениями.
Кепстр накладывает свертку и обращение свертки к сложению или вычитанию в частотной области и применяется в обработке голосовых и геофизических сигналов.
cepstrum
Кепстр последовательности x(n) вычисляется по следующей формуле:
где X(ω) — преобразование Фурье для последовательности x(n).
Это определение обратного преобразования после применения натурального логарифма к преобразованию Фурье для последовательности x(n). Логарифм накладывает свертку на интервал времени к сложению в частотной области, делая кепстр удобным инструментом для обращения свертки сигнала, который наложен на вычитание.
1. Задайте диапазон n.
2. Задайте функцию последовательности x.
3. Постройте график функции последовательности x.
4. Вычислите кепстр и постройте график результирующей функции.
5. Используйте функцию recenter для изменения центрирования результата, чтобы перевести первый элемент в середину.
Исходный сигнал не может быть восстановлен из кепстра, поскольку фазовые данные не сохраняются.
ccepstrum
Функция комплексного кепстра вычисляется с помощью следующего комплексного логарифма.
где X(ω) — преобразование Фурье для последовательности x(n), а фаза используется для сохранения фазовых данных для представленной последовательности.
Сравнение комплексного кепстра выходного сигнала с комплексным кепстром входного и каналом последовательностей показывает, что комплексный кепстр выходного сигнала является суммой комплексного кепстра входного сигнала и канала. Это похоже на добавление спектра двух сигналов в частотную область, но выполняется во временной области.
Следующий пример имитирует сигнал, проходящий через канал связи, создающий эхо (раздел 12.8.1 в Oppenheim and Schaefer, Prentice-Hall, 1989).
1. Задайте и постройте график отклика канала в виде фильтра с конечной импульсной характеристикой, который вносит ослабленные копии другой последовательности (эхо).
2. Задайте и нарисуйте последовательность v, которая будет свернута вместе с откликом канала.
3. Используйте функцию response, чтобы получить n-мерный вектор отклика входного вектора p в фильтре с конечной импульсной характеристикой с вектором коэффициентов v (функция v канала связи).
4. Постройте график функции отклика.
◦ Результирующая частота является сверткой входной функции p и функции канала связи v.
◦ Последовательность показывает исходный сигнал, сложенный с запаздывающими копиями.
5. Сравните комплексный кепстр выходного сигнала с кепстром исходной последовательности. Центрируйте результаты, чтобы упростить сравнение.
Графики показывают, что комплексный кепстр выходного сигнала является суммой комплексного кепстра двух последовательностей, которые были свернуты друг с другом.