Esempio: punteggio z di un vettore di dati

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Calcolare un punteggio z per un vettore di dati distribuiti normalmente con una deviazione standard della popolazione nota.

1. Definire un insieme di dati da analizzare.

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2. Calcolare la media del campione, m_s.

3. Definire il livello di significatività, la deviazione standard della popolazione e la media proposta della popolazione.

4. Calcolare il punteggio z.

5. Dichiarare l'ipotesi nulla e quella alternativa per il test a due code.

H0: m = μ

H1: m ≠ μ

6. Utilizzare la funzione pnorm per calcolare il valore p e verificare l'ipotesi. In questo esempio tutte le espressioni booleane restituiscono 1 se l'ipotesi nulla è vera (non si rifiuta H0).

<region id="ID0EY2YBB" top="883.20000000000016" left="38.400000000000006" height="25.6" width="185.36333333333334" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="84">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="*" xml:space="preserve">P</id>
      <apply>
        <mult />
        <real>2</real>
        <parens>
          <apply>
            <minus />
            <real>1</real>
            <apply>
              <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">pnorm</id>
              <sequence>
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">z</id>
                <real>0</real>
                <real>1</real>
              </sequence>
            </apply>
          </apply>
        </parens>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

Supponendo che l'ipotesi nulla sia vera, vi è una probabilità pari a 4.11*10-10 che la statistica del test sia maggiore di quella osservata. Il confronto tra il valore p e il livello di significatività indica che è possibile dimostrare che l'ipotesi alternativa è vera.

7. Utilizzare la funzione qnorm per calcolare i limiti della regione critica e verificare l'ipotesi.

<region id="ID0EG6YBB" top="1171.2000000000003" left="38.400000000000006" height="47.2" width="163.91666666666669" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="90">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="*" xml:space="preserve">crit</id>
      <apply>
        <absval />
        <apply>
          <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">qnorm</id>
          <sequence>
            <apply>
              <div />
              <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">α</id>
              <real>2</real>
            </apply>
            <real>0</real>
            <real>1</real>
          </sequence>
        </apply>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

Rifiutare l'ipotesi nulla. È possibile dimostrare che la media non è uguale a μ.

8. Utilizzare la funzione dnorm per calcolare e tracciare il grafico della distribuzione normale standard (blu), dei limiti della regione critica (rosso) e del punteggio z (verde).

<region id="ID0EQCZBB" top="1382.4" left="38.400000000000006" height="25.6" width="196.62333333333334" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="96">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function>
        <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">normal</id>
        <boundVars>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">q</id>
        </boundVars>
      </function>
      <apply>
        <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">dnorm</id>
        <sequence>
          <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">q</id>
          <real>0</real>
          <real>1</real>
        </sequence>
      </apply>
    </define>
    <resultFormat>
      <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

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