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Beispiel: Kleinste-Quadrate-Spline
Spline2, Binterp und DWS
Verwenden Sie die Funktion Spline2, um den optimalen Knotensatz zu ermitteln, den Binterp benötigt, um eine Spline-Interpolation der kleinsten Quadrate zu berechnen.
1. Definieren Sie einen Datensatz.
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w ist ein Vektor von Gewichtungen, die die geschätzten Standardabweichungen des Zufallsfehlers in y angeben.
2. Definieren Sie den Grad der gewünschten Spline-Polynome.
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3. Rufen Sie die Funktion Spline2 auf.
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Das erste Element von Vektor b gibt die Ordnung des B-Splines an. Das zweite Element gibt die Anzahl an Intervallen von (knots - 1) an. Die nächsten Elemente geben die Knotenwerte an. Die verbleibenden Elemente enthalten die Koeffizienten für die B-Spline-Basisfunktionen.
Der erste und der letzte Knoten entsprechen den Endpunkten der ursprünglichen x-Daten, wenn die Knoten automatisch generiert wurden:
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4. Rufen Sie die Funktion Binterp auf, um einen Wertebereich abzurufen, der dem Bereich von x entspricht.
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Zeile i von spline1 enthält den interpolierten Wert und die erste, zweite und dritte Ableitung an dem im Bereich i definierten Punkt.
5. Stellen Sie die ursprünglichen Daten und den interpolierten Spline grafisch dar.
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Die optimale Anzahl an Knoten und deren Abstand werden durch die Durbin-Watson-Statistik bestimmt. Diese Statistik sollte für eine gute Anpassung den Wert 2 aufweisen. Diese Statistik kann mithilfe der Funktion DWS oder durch Extrahieren des entsprechenden Elements aus Matrix b ermittelt werden:
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6. Verwenden Sie das optionale letzte Argument von Spline2, ein Prozentsatz von 0 bis 1, um ein Signifikanzniveau oder eine Ablehnungsgrenze für den Durbin-Watson-Test anzugeben.
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Im Allgemeinen führen höhere Ablehnungsgrenzen zu mehr Knoten und umfangreicheren Berechnungen. Dies ist jedoch nicht immer der Fall.
7. Berechnen Sie die Anzahl an Knoten, die von Spline2 verwendet werden.
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8. Rufen Sie die Funktion DWS auf, um die Durbin-Watson-Statistik zu berechnen.
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9. Stellen Sie die beiden interpolierten Splines grafisch dar.
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Sie können die Interpolation ohne Gewichtung durchführen:
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Sie können die Interpolation ohne Gewichtung, aber mit Ablehnungsgrenze durchführen:
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Spline-Ableitungen
Stellen Sie die ersten drei Ableitungen des Interpolations-Splines grafisch dar.
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Angeben eigener Knoten
Sie können für die B-Spline-Interpolation Ihre eigenen Knoten angeben.
1. Definieren Sie eine Zeichenfolge mit Knoten.
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2. Stellen Sie den interpolierten Spline grafisch dar.
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Sie können Knoten ohne Gewichtungsvektor angeben:
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Ausreißer
Sie können die Auswirkungen des Entfernens eines Ausreißers aus der Spline-Interpolation anzeigen.
1. Rufen Sie die Funktion GrubbsClassic auf, um den Punkt zu ermitteln, bei dem es sich um den wahrscheinlichsten Ausreißer handelt.
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Ein verdächtiger Punkt befindet sich ganz oben an der zweiten Datenspitze.
2. Entfernen Sie den Punkt aus dem Datensatz und aus der Weighing-Funktion.
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3. Rufen Sie die Funktion Spline2 für den neuen Datensatz auf.
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Gemäß der Durbin-Watson-Statistik hat sich die Anpassung verbessert.
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4. Vergleichen Sie die Ergebnisse der Interpolationen am verdächtigen Datenwert:
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Der Spline fällt leicht ab, nachdem der Ausreißer entfernt wurde.
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