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关于主分量分析函数
PTC Mathcad 提供了若干可执行主分量分析 (PCA) 的函数:
NipalsNipals2 - 执行 PCA。
scoresloadingsPCAeigenvalsPCAvariance - 从 Nipals Nipals2 的输出中提取数据。
关于主分量分析
找到包含大量相关或多余变量的数据集并不罕见。这不仅会导致数据分析的计算效率低下,还会导致数值问题 (例如在矩阵求逆步骤中)。在这种情况下,需要一种可将数据压缩为少数正交变量的方法。有一组可实现上述操作的方法,它们被共同称为因子分析法。这些方法中最基本的就是 PCA,它可将数据压缩为其最主要的因子。
PCA 取 n 维数据空间并定义一组新的正交轴 (即新变量),这些轴可使用最理想的方式描述数据的方差。第一个新变量描述可能变化的最大量 (即最大方差),第二个新变量描述其余变化的最大量及其他内容,从这个意义上讲,新的变量是最理想的。这些新变量被称为数据集的主分量。
在启动变量互相依存或相关的数据集中,更高的主分量接近于零 (通常仅为噪声),可以忽略不计。潜在的正交 (不相关的) 变量被称为潜在变量,需要对数据进行描述的数字是数据的秩。
NIPALS 与 SVD
对于许多数据集,svd 函数可用于计算其分数和输入,但结果通常不令人满意:
若利用奇异值分解 (SVD),则必须计算所有分数,即使不需要较高的分数。这样,对于大型及超冗余数据集,SVD 的计算效率将非常低下,而且有可能会失败。
svd 函数要求数据矩阵中的列数大于行数。如果测量多于变量,会出现问题。
NIPALS (非线性迭代偏最小二乘) 算法可逐阶计算分数和输入,并可避免上述问题。这种算法在数字上非常稳定,并可用于任何大小的数据集。它仅计算所需数量的主分量。
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