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예제: 비선형 회귀 2
LeastSquaresFit 함수를 사용하여 비선형 회귀를 수행합니다. LeastSquaresFit 풀이를 사용하면 비선형 회귀 문제를 매우 유연하게 풀 수 있습니다. 예를 들어 임의의 종속 매개변수에 대한 제약 조건 방정식, 매개변수의 하한계와 상한계, x 값에 대한 표준 편차, 계산의 신뢰 한계 등을 입력할 수 있습니다.
LeastSquaresFit
1. 데이터 집합을 정의합니다.
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이 데이터는 NIST 웹 사이트에 설명되어 있는 예제에서 가져왔습니다. 데이터를 생성하는 데는 다음 방정식이 사용되었으며 정밀도는 14자리입니다.
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2. 적합식을 정의합니다.
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위의 개별 매개변수는 벡터 β의 요소입니다. 벡터의 요소 대신 개별 변수 이름을 사용하여 입력 함수를 지정할 수도 있습니다.
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3. 추측값을 입력합니다.
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4. 매개변수에 대한 신뢰 한계를 정의합니다.
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5. LeastSquaresFit 함수를 호출합니다.
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이 풀이에서 최소자승 문제 결과를 푸는 데는 SQP(순차 2차 계획법)이 사용됩니다. 변수를 추가로 도입하여 원래 문제를 일반 등호 제약 조건의 비선형 계획법 문제로 변형했습니다. 이렇게 하면 일반적으로 다른 방법을 사용할 때보다 더 빠르고 더 안정적으로 문제를 풀 수 있습니다.
6. LeastSquaresFit 함수를 사용하여 구한 출력 벡터를 검토합니다.
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출력의 첫째 열에는 적합식 매개변수의 값이 포함됩니다. 둘째 열에는 매개변수에 대한 신뢰 구간의 왼쪽 경계가, 셋째 열에는 오른쪽 경계가 포함됩니다.
매개변수의 신뢰 한계 95%에 상당히 넓은 범위가 포함됩니다. 이는 맞춤이 쉽지 않고 개별 매개변수가 매우 다양할 수 있음을 의미합니다. 따라서 적합식 매개변수의 값과 NIST 웹 사이트에 기록된 올바른 값 사이에 차이가 있습니다.
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7. 데이터, 최소자승 적합식 및 NIST 적합식을 도표화합니다.
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8. 최소자승 적합식을 원래 데이터와 비교합니다.
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적합식이 수렴에 근접하고 있지만 수렴 허용 오차(CTOL)를 조정하여 더 나은 결과를 얻을 수도 있습니다. 이를 위해서는 LeastSquaresFit 함수의 선택적 인수 중 하나를 조정하면 됩니다.
제약 조건, 표준 편차 및 공차
LeastSquaresFit에는 다음과 같은 여러 가지 선택적 인수를 사용할 수 있습니다.
표준 편차 벡터
하한계 및 상한계 행렬
정밀도
이러한 선택적 인수를 단독으로 사용할 수도 있지만, 만일 둘 이상의 인수를 입력하는 경우에는 인수의 순서가 중요합니다.
1. 데이터 값 중 하나를 교란하여 잘못된 측정을 시뮬레이트합니다.
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2. 하한계와 상한계를 지정하여 적합 값에 대한 제약 조건을 설정합니다.
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이 예제의 경우에는 특정 경계가 알려져 있지 않으므로 예상되는 매개변수 값을 충분히 벗어난 지점에 경계가 설정됩니다.
3. y 값에 대한 표준 편차의 벡터를 설정하여 이상치를 마스킹합니다.
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표준 편차의 값이 108 정도로 크면 사실상 측정이 올바르지 않다는 사실을 쉽게 발견하고 이를 계산에서 제외할 수 있습니다.
표준 편차의 벡터를 LeastSquaresFit 함수에 대한 인수로 입력하면 풀이를 통해 다음 함수가 최소화됩니다.
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특정 점에서 표준 편차가 0이면 편차 없는 원래 함수가 해당 점에 사용됩니다. 즉, StdYi가 1로 설정됩니다.
4. 계산에 더 엄격한 수렴 허용 오차를 적용하기 위한 정밀도를 설정합니다. 기본값은 10-7입니다.
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5. 한 번은 표준 편차를 사용하여, 또 한 번은 표준 편차를 사용하지 않고 LeastSquaresFit 함수를 호출합니다.
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신뢰 한계가 너무 크기 때문에 마스킹하지 않은 계산은 실패합니다.
새 매개변수는 NIST 값에 좀 더 근접합니다.
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6. 이상치와 마스킹한 적합식을 사용하여 데이터를 도표화합니다.
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참조
이 예제의 데이터 출처: Lanczos, C., Applied Analysis, Prentice Hall, 1956년, 272-280페이지. 이 문서는 NIST Statistical Reference Dataset Archive에 게시되어 있습니다.
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