例: 状態空間ソルバー

ソルバーstatespaceを使用して 1 次の微分方程式 (ODE) の解を状態空間に表示したものを求めます。

特に、調和振動方程式の右辺が 0 である場合の外部から力を加えない調和振動子の解を求めます。

過減衰、臨界減衰、不足減衰の 3 つの場合の解があります。

過減衰の解

1. 過減衰の解を求める数式を次のように記述します。

2. 初期条件 (オブジェクトの質量、弾性定数、積分区間の始点と終点、点の数) を定義します。

3. 系の自然 (共振) 周波数を設定します。

4. 過減衰条件が存在することを検証します。

5. ODE を行列形式で記述します。

6. statespace 関数を次のように呼び出します。

7. 解をプロットします。

<region id="ID0EPHQ5" top="1094.4" left="38.400000000000006" height="288" width="576.5999999999998" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="121">
          <traceStyle color="#FFED1D2F" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="457.4" height="230.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="33">
          <axisLine position="origin" positionticmark="1" legendWidth="92.98" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>12</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="122">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">sol1</id>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="123">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-0.5" end="2">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="92.98" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>6</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="128">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">sol1</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="129">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="125">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-0.5</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="127">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </secondTickValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

臨界減衰の解

1. 系の自然 (共振) 周波数を設定します。

2. 臨界減衰条件が存在することを検証します。

3. ODE を行列形式で記述します。

4. statespace 関数を次のように呼び出します。

5. 解をプロットします。

<region id="ID0EPPQ5" top="1843.2000000000003" left="38.400000000000006" height="288" width="575.6" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="144">
          <traceStyle color="#FF068149" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="456.4" height="230.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="33">
          <axisLine position="origin" positionticmark="1" legendWidth="92.98" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>12</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="145">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">sol2</id>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="146">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-0.5" end="2">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="92.98" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>6</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="153">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">sol2</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="154">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="148">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-0.5</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="150">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="152">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">2</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

不足減衰の解

1. 系の自然 (共振) 周波数を設定します。

2. 不足減衰条件が存在することを検証します。

3. ODE を行列形式で記述します。

4. statespace 関数を次のように呼び出します。

5. 解をプロットします。

<region id="ID0EPXQ5" top="2649.6000000000004" left="38.400000000000006" height="201.60000429153445" width="576.4000126600265" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="170">
          <traceStyle color="#FF2E3192" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="457.200012660026" height="144.000004291534" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="20">
          <axisLine position="origin" positionticmark="1" legendWidth="92.98" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="175">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">sol3</id>
                  <real>0</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="176">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="172">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </startValue>
            <endValue resultRef="174">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">20</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-0.5" end="1">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="92.98" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>4</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <general precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" zero-threshold="15" imaginary-value="i" exponential-threshold="3" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="183">
                <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
                  <matcol />
                  <id xml:space="preserve">sol3</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </math>
              <math resultRef="184">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="178">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-0.5</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="180">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="182">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">1</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>