例: 特殊行列

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例: 特殊行列

この例では、いくつかの特殊行列について説明します。

単位行列

単位行列は、対角線上の成分がすべて 1 に設定され、その他の成分が 0 に設定されている正方行列です。

identity 関数を使用して 3x3 の単位行列を生成します。

対角行列

対角行列は、対角線上の成分がすべて任意の値に設定され、その他の成分が 0 に設定されている正方行列です。

1. 次の 3 つの入力ベクトルを定義します。

2. diag関数を使用して、各ベクトルを基にした対角行列を生成します。

生成される正方行列の大きさは常に nxn となります (ここで、n は入力ベクトルの長さ)。

3. 上三角行列を生成するプログラムを作成します。

<region id="ID0EHRZGB" top="912" left="48" width="347.389333318472" height="261.645333912969" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math>
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function>
        <id label="Variable">upptriang</id>
        <boundVars>
          <id label="Variable">v</id>
        </boundVars>
      </function>
      <program>
        <localDefine>
          <id label="Variable">n</id>
          <apply>
            <id>ceil</id>
            <apply>
              <div />
              <apply>
                <plus />
                <real>-1</real>
                <apply>
                  <nthRoot />
                  <placeholder />
                  <apply>
                    <plus />
                    <real>1</real>
                    <apply>
                      <mult />
                      <real>8</real>
                      <apply>
                        <id>rows</id>
                        <id>v</id>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <real>2</real>
            </apply>
          </apply>
        </localDefine>
        <program>
          <localDefine>
            <apply>
              <indexer />
              <id label="Variable">M</id>
              <sequence>
                <apply>
                  <minus />
                  <id label="None">n</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
                <apply>
                  <minus />
                  <id label="None">n</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </sequence>
            </apply>
            <real>0</real>
          </localDefine>
          <localDefine>
            <id label="Variable">k</id>
            <real>0</real>
          </localDefine>
          <for>
            <id>i</id>
            <range>
              <sequence>
                <real>0</real>
                <real>1</real>
              </sequence>
              <apply>
                <minus />
                <id>n</id>
                <real>1</real>
              </apply>
            </range>
            <program>
              <for>
                <id>j</id>
                <range>
                  <sequence>
                    <id>i</id>
                    <apply>
                      <plus />
                      <id>i</id>
                      <real>1</real>
                    </apply>
                  </sequence>
                  <apply>
                    <minus />
                    <id>n</id>
                    <real>1</real>
                  </apply>
                </range>
                <program>
                  <if>
                    <test>
                      <apply>
                        <lessOrEqual />
                        <id>k</id>
                        <apply>
                          <minus />
                          <apply>
                            <id>rows</id>
                            <id>v</id>
                          </apply>
                          <real>1</real>
                        </apply>
                      </apply>
                    </test>
                    <then>
                      <program>
                        <localDefine>
                          <apply>
                            <indexer />
                            <id label="Variable">M</id>
                            <sequence>
                              <id label="None">i</id>
                              <id label="None">j</id>
                            </sequence>
                          </apply>
                          <apply>
                            <indexer />
                            <id>v</id>
                            <id>k</id>
                          </apply>
                        </localDefine>
                        <localDefine>
                          <id label="Variable">k</id>
                          <apply>
                            <plus />
                            <id>k</id>
                            <real>1</real>
                          </apply>
                        </localDefine>
                      </program>
                    </then>
                  </if>
                </program>
              </for>
            </program>
          </for>
        </program>
        <id>M</id>
      </program>
    </define>
  </math>
</region>

4. このプログラムを使用して、前記の各ベクトルを基にした上三角行列を生成します。

ベクトルの成分が対角成分 (0,0) から順に行 0 がいっぱいになるまで右方向に配置され、次に対角成分 (1,1) から順に行 1 がいっぱいになるまで右方向に配置され、ベクトルの最後の成分が配置されるまでこの処理が続けられます。生成される正方行列は、ベクトルのすべての成分が格納されるのに十分な大きさになります。

5. 下三角行列を生成するプログラムを作成します。

<region id="ID0EKXZGB" top="1464" left="48" width="345.295999985139" height="261.645333912969" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math>
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function>
        <id label="Variable">lowtriang</id>
        <boundVars>
          <id label="Variable">v</id>
        </boundVars>
      </function>
      <program>
        <localDefine>
          <id label="Variable">n</id>
          <apply>
            <id>ceil</id>
            <apply>
              <div />
              <apply>
                <plus />
                <real>-1</real>
                <apply>
                  <nthRoot />
                  <placeholder />
                  <apply>
                    <plus />
                    <real>1</real>
                    <apply>
                      <mult />
                      <real>8</real>
                      <apply>
                        <id>rows</id>
                        <id>v</id>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <real>2</real>
            </apply>
          </apply>
        </localDefine>
        <program>
          <localDefine>
            <apply>
              <indexer />
              <id label="Variable">M</id>
              <sequence>
                <apply>
                  <minus />
                  <id label="None">n</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
                <apply>
                  <minus />
                  <id label="None">n</id>
                  <real>1</real>
                </apply>
              </sequence>
            </apply>
            <real>0</real>
          </localDefine>
          <localDefine>
            <id label="Variable">k</id>
            <real>0</real>
          </localDefine>
          <for>
            <id>i</id>
            <range>
              <sequence>
                <real>0</real>
                <real>1</real>
              </sequence>
              <apply>
                <minus />
                <id>n</id>
                <real>1</real>
              </apply>
            </range>
            <program>
              <for>
                <id>j</id>
                <range>
                  <sequence>
                    <real>0</real>
                    <real>1</real>
                  </sequence>
                  <id>i</id>
                </range>
                <program>
                  <if>
                    <test>
                      <apply>
                        <lessOrEqual />
                        <id>k</id>
                        <apply>
                          <minus />
                          <apply>
                            <id>rows</id>
                            <id>v</id>
                          </apply>
                          <real>1</real>
                        </apply>
                      </apply>
                    </test>
                    <then>
                      <program>
                        <localDefine>
                          <apply>
                            <indexer />
                            <id label="Variable">M</id>
                            <sequence>
                              <id label="None">i</id>
                              <id label="None">j</id>
                            </sequence>
                          </apply>
                          <apply>
                            <indexer />
                            <id>v</id>
                            <id>k</id>
                          </apply>
                        </localDefine>
                        <localDefine>
                          <id label="Variable">k</id>
                          <apply>
                            <plus />
                            <id>k</id>
                            <real>1</real>
                          </apply>
                        </localDefine>
                      </program>
                    </then>
                  </if>
                </program>
              </for>
            </program>
          </for>
        </program>
        <id>M</id>
      </program>
    </define>
  </math>
</region>

6. このプログラムを使用して、前記の各ベクトルを基にした下三角行列を生成します。

ベクトルの成分が対角成分 (0,0) に配置され、次に行 1 の成分 (1,0) から対角成分 (1,1) まで順に配置され、次に行 2 の成分 (2,0) から対角成分 (2,2) まで順に配置され、ベクトルの最後の成分が配置されるまでこの処理が続けられます。生成される正方行列は、ベクトルのすべての成分が格納されるのに十分な大きさになります。