例: 線形傾向除去

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例: 線形傾向除去

detrend関数で、最小二乗法による最良適合直線を使用してデータの線形傾向を近似して除去します。

1. 指数信号を定義します。

2. 指数信号をプロットします。

<region id="ID0E4Z53" actualWidth="575.69230769230762" actualHeight="312" top="307.20000000000005" left="38.400000000000006" height="312" width="575.69230769230762" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="90">
          <traceStyle color="#FFED1D2F" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="479.692307692308" height="254.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="100">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="58.32" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="91">
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">t</id>
              </math>
              <math resultRef="92">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="0" end="3">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="63.57" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>7</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="99">
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">Y</id>
              </math>
              <math resultRef="100">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="94">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="96">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0.5</real>
            </secondTickValue>
            <endValue resultRef="98">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">3</real>
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

3. whiten関数を使用して、信号に白色ノイズを付加します。

4. 元の信号とノイズを含む信号をプロットします。

<region id="ID0EO453" actualWidth="576.00000000000011" actualHeight="312" top="864.00000000000011" left="38.400000000000006" height="312" width="576.00000000000011" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="110">
          <traceStyle color="#FFED1D2F" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="111">
          <traceStyle color="#FF2E3192" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="480" height="254.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="100">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="58.32" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="112">
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">t</id>
              </math>
              <math resultRef="113">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="0" end="3">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="63.57" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>7</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="118">
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">Y</id>
              </math>
              <math resultRef="119">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math resultRef="120">
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">Z</id>
              </math>
              <math resultRef="121">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="115">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="117">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0.5</real>
            </secondTickValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

5. ノイズの影響を受けた信号に detrend 関数を適用します。

6. 元の関数と傾向除去された関数をプロットします。

<region id="ID0ESA63" actualWidth="575.69230769230762" actualHeight="312" top="1324.8000000000002" left="38.400000000000006" height="312" width="575.69230769230762" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <plot background-type="white" origin-positioning="true">
    <xyPlot>
      <title class="- topic/title " wwtype:type="Paragraph" xmlns:wwtype="urn:WebWorks-Type-Schema" />
      <legend />
      <traces>
        <trace resultRef="132">
          <traceStyle color="#FF00008B" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
        <trace resultRef="133">
          <traceStyle color="#FF068149" symbol="none" line-weight="1" line-style="Solid">lines</traceStyle>
        </trace>
      </traces>
      <graph-size width="460.492307692308" height="254.4" />
      <axes>
        <xAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryBottom" start="0" end="100">
          <axisLine position="origin" positionticmark="1" legendWidth="58.32" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>11</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="134">
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">t</id>
              </math>
              <math resultRef="135">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </startValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </xAxis>
        <yAxis rank="1" legend-position="PlotBoundaryLeft" start="-0.5" end="3">
          <axisLine position="origin" positionticmark="0" legendWidth="70.9466666666667" />
          <axisGrid>
            <gridFrequency>8</gridFrequency>
            <gridLabels display="true" />
            <gridLines />
            <tickMarks display="true" />
          </axisGrid>
          <axisLabel />
          <markers />
          <numberFormat>
            <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
          </numberFormat>
          <plotEquations>
            <plotEquation>
              <math resultRef="140">
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">Z</id>
              </math>
              <math resultRef="141">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
            <plotEquation>
              <math resultRef="142">
                <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">dZ</id>
              </math>
              <math resultRef="143">
                <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
              </math>
            </plotEquation>
          </plotEquations>
          <xyDomain scale-type="linear" auto-scale="true">
            <startValue resultRef="137">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">-0.5</real>
            </startValue>
            <secondTickValue resultRef="139">
              <real xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">0</real>
            </secondTickValue>
            <endValue>
              <placeholder xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50" />
            </endValue>
          </xyDomain>
        </yAxis>
      </axes>
    </xyPlot>
  </plot>
</region>

線形傾向がなくなったことは、傾向除去の前と後の最小二乗直線によっても確認できます。

7. slope関数とintercept関数を使用して、傾向除去の前後での傾きと切片を計算します。

<region id="ID0ECE63" actualWidth="174.60000000000002" actualHeight="25.6" top="1804.8000000000002" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="152">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">Sz</id>
      <eval>
        <apply>
          <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">slope</id>
          <sequence>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">t</id>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Z</id>
          </sequence>
        </apply>
        <unitOverride>
          <placeholder />
        </unitOverride>
      </eval>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

<region id="ID0EQE63" actualWidth="199.37333333333333" actualHeight="25.6" top="1843.2000000000003" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="154">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">Iz</id>
      <eval>
        <apply>
          <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">intercept</id>
          <sequence>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">t</id>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">Z</id>
          </sequence>
        </apply>
        <unitOverride>
          <placeholder />
        </unitOverride>
      </eval>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

<region id="ID0ECF63" actualWidth="163.36" actualHeight="25.6" top="1881.6000000000004" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="156">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">Sdz</id>
      <eval>
        <apply>
          <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">slope</id>
          <sequence>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">t</id>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">dZ</id>
          </sequence>
        </apply>
        <unitOverride>
          <placeholder />
        </unitOverride>
      </eval>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

<region id="ID0EQF63" actualWidth="188.13333333333335" actualHeight="25.6" top="1920.0000000000002" left="38.400000000000006" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="158">
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve">Idz</id>
      <eval>
        <apply>
          <id labels="FUNCTION" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">intercept</id>
          <sequence>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">t</id>
            <id labels="VARIABLE" xml:space="preserve" label-is-contextual="true">dZ</id>
          </sequence>
        </apply>
        <unitOverride>
          <placeholder />
        </unitOverride>
      </eval>
    </define>
    <resultFormat>
      <decimal precision="3" show-trailing-zeros="false" radix="dec" imaginary-value="i" />
      <matrix size="12,12" offset="0,0" show-indices="false" expand-nested-arrays="false" />
    </resultFormat>
  </math>
</region>

これは常に当てはまります。detrend の出力ベクトルの最小二乗直線は、原点を通る水平線、つまり傾きと切片がどちらもほぼ 0 です。

傾向除去の前後の DC 項からわかるように、detrend の効果として、入力データから平均値が除去されています。

8. dft関数を使用して、傾向除去の前後の DC (最初の) 項を計算します。

detrend 関数は、平滑化処理の簡単な "前処理" として実行されることがよくあります。前述したように、スペクトル推定でも最初に傾向除去が行われることがよくあります。