例: 行列の行基本変形

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例: 行列の行基本変形

m x n の行列に対して 3 種類の行基本変形を行い、被約階段行列との関連性を示します。

1. 入力行列を定義します。

2. 行 r にスカラー c を掛け合わせます。

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<region id="ID0EJLOGB" top="144" left="24" width="217.526666666667" height="85.656" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math>
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function>
        <id label="Variable">e1</id>
        <boundVars>
          <id label="Variable">A</id>
          <id label="Variable">c</id>
          <id label="Variable">r</id>
        </boundVars>
      </function>
      <program>
        <localDefine>
          <id label="Variable">B</id>
          <apply>
            <transpose />
            <id>A</id>
          </apply>
        </localDefine>
        <localDefine>
          <apply>
            <matcol />
            <id label="Variable">B</id>
            <id label="Variable">r</id>
          </apply>
          <apply>
            <mult />
            <id>c</id>
            <apply>
              <matcol />
              <parens>
                <apply>
                  <transpose />
                  <id>A</id>
                </apply>
              </parens>
              <id>r</id>
            </apply>
          </apply>
        </localDefine>
        <apply>
          <transpose />
          <id>B</id>
        </apply>
      </program>
    </define>
  </math>
</region>

3. 行 r を、行 r に行 s の c 倍を加えたものに置き換えます。

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<region id="ID0EXNOGB" top="360" left="24" width="291.823333333333" height="85.656" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math>
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function>
        <id label="Variable">e2</id>
        <boundVars>
          <id label="Variable">A</id>
          <id label="Variable">c</id>
          <id label="Variable">r</id>
          <id label="Variable">s</id>
        </boundVars>
      </function>
      <program>
        <localDefine>
          <id label="Variable">B</id>
          <apply>
            <transpose />
            <id>A</id>
          </apply>
        </localDefine>
        <localDefine>
          <apply>
            <matcol />
            <id label="Variable">B</id>
            <id label="Variable">r</id>
          </apply>
          <apply>
            <plus />
            <apply>
              <matcol />
              <parens>
                <apply>
                  <transpose />
                  <id>A</id>
                </apply>
              </parens>
              <id>r</id>
            </apply>
            <apply>
              <mult />
              <id>c</id>
              <apply>
                <matcol />
                <parens>
                  <apply>
                    <transpose />
                    <id>A</id>
                  </apply>
                </parens>
                <id>s</id>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </localDefine>
        <apply>
          <transpose />
          <id>B</id>
        </apply>
      </program>
    </define>
  </math>
</region>

4. 行 r と行 s を入れ替えます。

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<region id="ID0E4POGB" top="552" left="24" width="200.72" height="114.808" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math>
    <define xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <function>
        <id label="Variable">e3</id>
        <boundVars>
          <id label="Variable">A</id>
          <id label="Variable">r</id>
          <id label="Variable">s</id>
        </boundVars>
      </function>
      <program>
        <localDefine>
          <id label="Variable">B</id>
          <apply>
            <transpose />
            <id>A</id>
          </apply>
        </localDefine>
        <localDefine>
          <apply>
            <matcol />
            <id label="Variable">B</id>
            <id label="Variable">s</id>
          </apply>
          <apply>
            <matcol />
            <parens>
              <apply>
                <transpose />
                <id>A</id>
              </apply>
            </parens>
            <id>r</id>
          </apply>
        </localDefine>
        <localDefine>
          <apply>
            <matcol />
            <id label="Variable">B</id>
            <id label="Variable">r</id>
          </apply>
          <apply>
            <matcol />
            <parens>
              <apply>
                <transpose />
                <id>A</id>
              </apply>
            </parens>
            <id>s</id>
          </apply>
        </localDefine>
        <apply>
          <transpose />
          <id>B</id>
        </apply>
      </program>
    </define>
  </math>
</region>

行列の被約階段行列

被約階段行列は線形連立方程式を解く場合に使用される重要な手法です。

行列 A の被約階段行列を求めるには、次に示す e1、e2、e3 による一連の操作を行います。

1. 行列 A を定義します。

2. e2 を使用して、A の行 0 を、行 0 に行 1 の (-2) 倍を加えたものに置き換えます。

3. e2 を使用して、A1 の行 2 を、行 2 に行 1 の (-2) 倍を加えたものに置き換えます。

4. e1 を使用して、A2 の行 2 を (-1/2) 倍します。

5. e2 を使用して、A3 の行 1 を、行 1 に行 2 の (-4) 倍を加えたものに置き換えます。

6. e2 を使用して、A4 の行 0 を、行 0 に行 2 の (9) 倍を加えたものに置き換えます。

7. e1 を使用して、A5 の行 0 を 2/15 倍します。

8. e2 を使用して、A6 の行 1 を、行 1 に行 0 の (2) 倍を加えたものに置き換えます。

9. e2 を使用して、A7 の行 2 を、行 2 に行 0 の (-1/2) 倍を加えたものに置き換えます。

10. e3 を使用して、A8 の行 0 と行 1 を入れ替えます。

11. e3 を使用して、A9 の行 1 と行 2 を入れ替えます。

この例では、上記の一連の行基本変形によって、行列 A の被約階段行列が求められます。

12. rref関数を使用して、行列 A の被約階段行列を求めます。

返される行列は行列 A10 と同じです。

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