タスク 3-5: ヤコビアンの計算
PTC Mathcad の一部の ODE ソルバーではヤコビアンが使用されます。ヤコビアンを使用することで、多重積分の変数を変換できます。次の領域で関数を積分するものとします。各境界の方程式も示します。
1. 積分する関数を定義します。
2. 指定した領域で関数を積分します。積分を 2 つに分割し、xy 平面の左側について積分してから、その右側について積分します。
新しい変数を導入することで、平面を変換して積分を単純化できます。
これらの新しい変数の積分領域の境界は軸に対して平行です。
3. u と v を使用して x と y を定義します。
多重積分の変数を変換する場合、積分を尺度化するためヤコビアンを計算する必要があります。
4. ベクトル関数 F(u, v) を定義します。
5. a と b におけるヤコビ行列を評価します。
6. ヤコビアン、つまり J の行列式を計算します。行列式演算子を挿入します。
7. 新しい座標を使用して関数 f を書き直します。
8. ヤコビアンの絶対値を使用して積分を尺度化し、結果を評価します。
新しい変数では、関数の積分に必要な積分は 1 つだけです。
演習
最後に、空中に放り投げられた物体が最高点に到達するまでの時間を求めてみてください。微分方程式 x’’ = -9.8 および初期条件 x(0) = 2 と x’(0) = 3 から成るソルブブロックを設定します。1 つ目のソルブブロックから返された関数を最適化する 2 つ目のソルブブロックを設定します。
1 つ目のソルブブロックから返された関数を 0 < t < 1 の範囲でプロットすることで、正解を確認できます。計算全体を通して単位の互換性が確保される場合にかぎり、単位を追加できます。
おつかれさまでした。求解チュートリアルはこれで終わりです。