Intégrales exponentielles

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Intégrales exponentielles

• Ei(x) : renvoie la fonction intégrale exponentielle (valeur principale de Cauchy) de x, qui est définie comme suit :

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<region id="ID0E536BB" top="115.20000000000002" left="57.600000000000009" height="80.552" width="118.27166666666668" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="7">
    <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <equal />
      <apply>
        <id xml:space="preserve">Ei</id>
        <id xml:space="preserve">x</id>
      </apply>
      <apply>
        <integral />
        <lambda>
          <boundVars>
            <id xml:space="preserve">t</id>
          </boundVars>
          <apply>
            <div />
            <apply>
              <pow />
              <id xml:space="preserve">e</id>
              <id xml:space="preserve">t</id>
            </apply>
            <id xml:space="preserve">t</id>
          </apply>
        </lambda>
        <lowerBound>
          <apply>
            <neg />
            <id xml:space="preserve" labels="CONSTANT">∞</id>
          </apply>
        </lowerBound>
        <upperBound>
          <id xml:space="preserve" labels="CONSTANT">π</id>
        </upperBound>
      </apply>
    </apply>
  </math>
</region>

Ei(x) renvoie uniquement la partie réelle de la fonction intégrale exponentielle complexe.

Pour x > 0, l'intégrale est interprétée comme valeur principale de Cauchy.

• Ei(n, x) : renvoie la fonction intégrale exponentielle généralisée de x.

Pour un entier arbitraire n, Ei(n, x) est définie par la relation de récurrence :

<region id="ID0EU66BB" top="307.20000000000005" left="57.600000000000009" height="27.752000000000002" width="229.48666666666668" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="13">
    <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <equal />
      <apply>
        <mult />
        <id xml:space="preserve">n</id>
        <apply>
          <id xml:space="preserve">Ei</id>
          <sequence>
            <apply>
              <plus />
              <id xml:space="preserve">n</id>
              <real>1</real>
            </apply>
            <id xml:space="preserve">x</id>
          </sequence>
        </apply>
      </apply>
      <apply>
        <minus />
        <apply>
          <pow />
          <id xml:space="preserve">e</id>
          <apply>
            <neg />
            <id xml:space="preserve">x</id>
          </apply>
        </apply>
        <apply>
          <mult />
          <id xml:space="preserve">x</id>
          <apply>
            <id xml:space="preserve">Ei</id>
            <sequence>
              <id xml:space="preserve">n</id>
              <id xml:space="preserve">x</id>
            </sequence>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </apply>
  </math>
</region>

Dans le cas de n = 1, Ei(n, x) est définie comme suit :

<region id="ID0ERAACB" top="249.60000000000002" left="57.600000000000009" height="50.000000000000007" width="242.08666666666667" xmlns="http://schemas.mathsoft.com/worksheet50">
  <math resultRef="11">
    <apply xmlns="http://schemas.mathsoft.com/math50">
      <equal />
      <apply>
        <neg />
        <apply>
          <id xml:space="preserve">Ei</id>
          <sequence>
            <real>1</real>
            <apply>
              <neg />
              <id xml:space="preserve">x</id>
            </apply>
          </sequence>
        </apply>
      </apply>
      <apply>
        <plus />
        <apply>
          <plus />
          <id xml:space="preserve" labels="CONSTANT">γ</id>
          <apply>
            <id xml:space="preserve">ln</id>
            <apply>
              <neg />
              <id xml:space="preserve">x</id>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply>
          <summation />
          <lambda>
            <boundVars>
              <id xml:space="preserve">k</id>
            </boundVars>
            <apply>
              <div />
              <apply>
                <pow />
                <id xml:space="preserve">x</id>
                <id xml:space="preserve">k</id>
              </apply>
              <apply>
                <mult />
                <id xml:space="preserve">k</id>
                <apply>
                  <factorial />
                  <id xml:space="preserve">k</id>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </lambda>
          <lowerBound>
            <real>1</real>
          </lowerBound>
          <upperBound>
            <id xml:space="preserve">∞</id>
          </upperBound>
        </apply>
      </apply>
    </apply>
  </math>
</region>

où γ est la constante d'Euler.

Pour un nombre réel x, Ei(x) et Ei(n, x) sont associés l'un à l'autre, comme suit :

Arguments

• x est un scalaire réel, un vecteur ou une matrice carrée. Lorsque vous utilisez la fonction intégrale exponentielle généralisée, x peut également être un scalaire complexe.

• n est un scalaire réel ou complexe.

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